Упр.371 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\frac{x^3-2x^2+5x-10}{3-2x}>0$$;
   в) $$\frac{x^4-2x^3-8x+16}{x^3}\ ?\ 0$$;
   б) $$\frac{x^3-x^2+x-6}{18x-27}<0$$; г) $$\frac{x^4-10x^2+24}{x^2-3}<0$$.
2. Докажите, что при любых значениях $$a$$ и $$b$$ уравнение имеет корни:
   а) $$(x-a)(x-b)=a^2$$;
   б) $$x^2-2ax+a^2-b^2-c^2=0$$.

а) Преобразуем уравнение к стандартному виду:

$$(x-a)(x-b)=a^2$$

$$x^2-bx-ax+ab=a^2$$

$$x^2-(a+b)x+ab-a^2=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+b)^2-4(ab-a^2)$$

$$D=a^2+2ab+b^2-4ab+4a^2$$

$$D=(a-b)^2+4a^2 \ge 0$$

Следовательно, уравнение имеет корни при любых значениях $$a$$ и $$b$$.

б) Рассмотрим уравнение:

$$x^2-2ax+a^2-b^2-c^2=0$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(2a)^2-4(a^2-b^2-c^2)$$

$$D=4a^2-4a^2+4b^2+4c^2$$

$$D=4b^2+4c^2 \ge 0$$

Значит, уравнение имеет корни при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Ответ

Оба уравнения имеют корни при любых значениях параметров, так как их дискриминанты неотрицательны:
а) $$D=(a-b)^2+4a^2\ge 0$$
б) $$D=4b^2+4c^2\ge 0$$