Упр.368 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 4x^2-2x+a=0; в) 2x^2+(a-4)x-2a=0;
б) ax^2+8x+4=0; г) 3x^2+(2a+3)x+a+2=0?

1. Уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен: $$D>0.$$

   а) $$4x^2-2x+a=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 4\cdot a=4-16a.$$

   Требуем:

   $$4-16a>0,$$

   $$16a<4,$$

   $$a<\frac14.$$

2. б) $$ax^2+8x+4=0$$

   Чтобы уравнение было квадратным, нужно $$a\ne 0.$$

   Дискриминант:

   $$D=8^2-4\cdot a\cdot 4=64-16a.$$

   Требуем:

   $$64-16a>0,$$

   $$a<4.$$

   С учётом условия $$a\ne 0$$ получаем:

   $$a\in(-\infty;0)\cup(0;4).$$

3. в) $$2x^2+(a-4)x-2a=0$$

   $$D=(a-4)^2-4\cdot 2\cdot(-2a)=(a-4)^2+16a.$$

   $$D=a^2-8a+16+16a=a^2+8a+16=(a+4)^2.$$

   Для двух различных корней нужно:

   $$ (a+4)^2>0,$$

   то есть

   $$a\ne -4.$$

4. г) $$3x^2+(2a+3)x+a+2=0$$

   $$D=(2a+3)^2-4\cdot 3\cdot(a+2)=4a^2+12a+9-12a-24=4a^2-15.$$

   Требуем:

   $$4a^2-15>0,$$

   $$4a^2>15,$$

   $$a^2>\frac{15}{4},$$

   $$|a|>\frac{\sqrt{15}}{2}.$$

   Значит,

   $$a<-\frac{\sqrt{15}}{2}\quad \text{или}\quad a>\frac{\sqrt{15}}{2}.$$

Ответ

а) $$(-\infty;\tfrac14);$$ б) $$(-\infty;0)\cup(0;4);$$ в) $$(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty);$$ г) $$(-\infty;-\tfrac{\sqrt{15}}{2})\cup(\tfrac{\sqrt{15}}{2};+\infty).$$