Упр.366 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) отрицательный корень;
б) корень, принадлежащий промежутку (—0,5; 0,5)?

Раскроем скобки в уравнении:

$$ (3x+p+2)^2-(3x-p+1)^2=12x+4 $$

Используем формулу разности квадратов:

$$ \bigl((3x+p+2)-(3x-p+1)\bigr)\bigl((3x+p+2)+(3x-p+1)\bigr)=12x+4 $$

$$ (2p+1)(6x+3)=12x+4 $$

$$ 12px+6p+6x+3=12x+4 $$

$$ 6x(2p-1)=1-6p $$

Если $$p=\frac12$$, то получаем $$0= -2$$, что невозможно. Значит, $$p\ne \frac12$$, и тогда

$$ x=\frac{1-6p}{6(2p-1)}. $$

а) Требуется, чтобы корень был отрицательным:

$$ \frac{1-6p}{6(2p-1)}<0 $$

Так как $$6>0$$, достаточно решить

$$ \frac{1-6p}{2p-1}<0. $$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$ p<\frac16 \quad \text{или} \quad p>\frac12. $$

б) Требуется, чтобы корень принадлежал промежутку $$(-0{,}5;0{,}5)$$:

$$ -\frac12<\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac12. $$

Решим двойное неравенство.

1) $$\frac{1-6p}{6(2p-1)}>-\frac12$$

$$ \frac{1-6p}{6(2p-1)}+\frac12>0 $$

$$ \frac{1-6p+3(2p-1)}{6(2p-1)}>0 $$

$$ \frac{-2}{6(2p-1)}>0 $$

$$ 2p-1<0,\quad p<\frac12. $$

2) $$\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac12$$

$$ \frac{1-6p}{6(2p-1)}-\frac12<0 $$

$$ \frac{1-6p-3(2p-1)}{6(2p-1)}<0 $$

$$ \frac{4-12p}{6(2p-1)}<0 $$

$$ \frac{2-6p}{2p-1}<0 $$

Отсюда

$$ p<\frac13 \quad \text{или} \quad p>\frac12. $$

Совмещая с условием $$p<\frac12$$, получаем

$$ p<\frac13. $$

Ответ

а) $$p\in\left(-\infty;\frac16\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right);$$

б) $$p\in\left(-\infty;\frac13\right).$$