Упр.365 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ каждое решение неравенства $$3(a-4x)+2(x-4)<0$$ является решением неравенства $$x^2-4x+3>0$$?
2. При каких значениях параметра $$b$$ уравнение $$\frac{5x}{6}-b=\frac{1}{3}$$ имеет: а) положительный корень; б) корень, принадлежащий промежутку $$(-1;4)$$; в) корень, находящийся вне промежутка $$[-2;6]$$?

Решим уравнение:

$$\frac{5x}{6}-b=\frac{1}{3}$$

$$\frac{5x}{6}=\frac{1}{3}+b$$

$$5x=2+6b$$

$$x=\frac{6b+2}{5}$$

а) Корень положительный, если

$$\frac{6b+2}{5}>0$$

$$6b+2>0$$

$$b>-\frac{1}{3}$$

б) Корень принадлежит промежутку $$(-1;4)$$, если

$$-1<\frac{6b+2}{5}<4$$

$$-5<6b+2<20$$

$$-7<6b<18$$

$$-\frac{7}{6}<b<3$$

в) Корень находится вне промежутка $$[-2;6]$$. Так как функция $$x=\frac{6b+2}{5}$$ линейная, то нужно, чтобы

$$\frac{6b+2}{5}\le -2 \quad \text{или} \quad \frac{6b+2}{5}\ge 6$$

Решим оба неравенства:

$$\frac{6b+2}{5}\le -2 \Rightarrow 6b+2\le -10 \Rightarrow 6b\le -12 \Rightarrow b\le -2$$

$$\frac{6b+2}{5}\ge 6 \Rightarrow 6b+2\ge 30 \Rightarrow 6b\ge 28 \Rightarrow b\ge \frac{14}{3}$$

Ответ

а) $$b\in\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)$$;

б) $$b\in\left(-\frac{7}{6};3\right)$$;

в) $$b\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac{14}{3};+\infty\right)$$.