Упр.360 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите уравнение $$\frac{1}{x^2+2x-4}+\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{1}{x^2+2x-5}$$.
- Изобразите схематически график функции $$y=x^2-9|x|+8$$ и укажите промежутки возрастания и убывания этой функции.
Рассмотрим функцию $$y=x^2-9|x|+8.$$
Так как в формуле есть модуль, запишем функцию по частям:
$$y= \begin{cases} x^2+9x+8, & x<0,\\ x^2-9x+8, & x\ge 0. \end{cases}$$
Обе части — параболы, ветви направлены вверх.
Для ветви при $$x\ge 0$$ найдём вершину:
$$x_0=\frac{9}{2}=4{,}5,\qquad y_0=4{,}5^2-9\cdot 4{,}5+8=-12{,}25.$$
Из-за модуля график симметричен относительно оси $$Oy$$. Поэтому вторая вершина находится в точке $$(-4{,}5;\,-12{,}25).$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^2-9|x|+8=0.$$
Положим $$t=|x|,\ t\ge 0$$. Тогда
$$t^2-9t+8=0$$
$$(t-1)(t-8)=0.$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=8$$, значит
$$x=\pm 1,\ \pm 8.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$x=0,\ y=8,$$ то есть $$(0;8).$$
По графику видно, что функция убывает до вершины левой ветви, затем возрастает до точки $$x=0,$$ потом снова убывает до правой вершины и после неё возрастает.
Следовательно:
$$\text{возрастает на }[-4{,}5;0]\cup[4{,}5;+\infty),$$
$$\text{убывает на }(-\infty;-4{,}5]\cup[0;4{,}5].$$
Ответ
График — две симметричные относительно оси $$Oy$$ ветви параболы с вершинами $$(-4{,}5;\,-12{,}25)$$ и $$(4{,}5;\,-12{,}25),$$ проходящие через точки $$(-8;0),(-1;0),(0;8),(1;0),(8;0).$$
Функция возрастает на $$[-4{,}5;0]\cup[4{,}5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-4{,}5]\cup[0;4{,}5].$$
