Упр.360 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 360. Изобразите схематически график функции y=x^2-9|x|+8 и укажите промежутки возрастания и убывания этой функции.

Рассмотрим функцию $$y=x^2-9|x|+8.$$

Так как в формуле есть модуль, запишем функцию по частям:

$$ y= \begin{cases} x^2+9x+8, & x<0,\\ x^2-9x+8, & x\ge 0. \end{cases} $$

Обе части — параболы, ветви направлены вверх.

Для ветви при $$x\ge 0$$ найдём вершину:

$$ x_0=\frac{9}{2}=4{,}5,\qquad y_0=4{,}5^2-9\cdot 4{,}5+8=-12{,}25. $$

Из-за модуля график симметричен относительно оси $$Oy$$. Поэтому вторая вершина находится в точке $$(-4{,}5;\,-12{,}25).$$

Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$ x^2-9|x|+8=0. $$
Положим $$t=|x|,\ t\ge 0$$. Тогда

$$ t^2-9t+8=0 $$
$$ (t-1)(t-8)=0. $$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=8$$, значит

$$ x=\pm 1,\ \pm 8. $$

Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$x=0,\ y=8,$$ то есть $$ (0;8). $$

По графику видно, что функция убывает до вершины левой ветви, затем возрастает до точки $$x=0,$$ потом снова убывает до правой вершины и после неё возрастает.

Следовательно:

$$ \text{возрастает на }[-4{,}5;0]\cup[4{,}5;+\infty), $$

$$ \text{убывает на }(-\infty;-4{,}5]\cup[0;4{,}5]. $$

Ответ

График — две симметричные относительно оси $$Oy$$ ветви параболы с вершинами $$(-4{,}5;\,-12{,}25)$$ и $$ (4{,}5;\,-12{,}25),$$ проходящие через точки $$(-8;0),(-1;0),(0;8),(1;0),(8;0).$$

Функция возрастает на $$[-4{,}5;0]\cup[4{,}5;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-4{,}5]\cup[0;4{,}5].$$