Упр.356 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) [|x^2-3x| < |x|, x^2-11 < 0]; б) [|3x-5| < |x|, x^2-x < 2].

а) Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

$$|x^2-3x|<|x|$$ $$\left(x^2-3x\right)^2<x^2$$ $$x^2(x-3)^2<x^2$$ $$x^2\bigl((x-3)^2-1\bigr)<0$$ $$x^2(x-4)(x-2)<0$$ Так как $$x^2\ge 0,$$ то при $$x\ne 0$$ получаем $$ (x-4)(x-2)<0,$$ откуда $$2<x<4.$$

$$x^2-11<0$$
$$x^2<11$$
$$-\sqrt{11}<x<\sqrt{11}.$$

Для совокупности берём объединение решений:

$$(-\sqrt{11};\sqrt{11})\cup(2;4)=(-\sqrt{11};4).$$

б)

$$|3x-5|<|x|$$
$$\left(3x-5\right)^2<x^2$$
$$9x^2-30x+25<x^2$$
$$8x^2-30x+25<0$$
$$\left(4x-5\right)(2x-5)<0.$$

Отсюда

$$\frac54<x<\frac52.$$

$$x^2-x<2$$
$$x^2-x-2<0$$
$$(x-2)(x+1)<0,$$
значит
$$-1<x<2.$$

Для совокупности получаем объединение:

$$\left(\frac54;\frac52\right)\cup(-1;2)=(-1;\frac52).$$

Ответ

а) $$(-\sqrt{11};4)$$;
б) $$(-1;\frac52)$$.