Упр.354 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 354. Найдите, при каких значениях x точки графика функции y=|2x-3| расположены внутри полосы, ограниченной прямыми y=2 и y=5. Проиллюстрируйте ответ, построив график функции y=|2x-3|.

Точки графика функции $$y=|2x-3|$$ должны лежать внутри полосы между прямыми $$y=2$$ и $$y=5$$, значит

$$2 \le |2x-3| \le 5.$$

Решим это двойное неравенство.

1) $$|2x-3|\ge 2$$

$$2x-3\le -2 \quad \text{или} \quad 2x-3\ge 2.$$

Отсюда

$$2x\le 1 \quad \text{или} \quad 2x\ge 5,$$

$$x\le 0{,}5 \quad \text{или} \quad x\ge 2{,}5.$$

2) $$|2x-3|\le 5$$

$$-5\le 2x-3\le 5,$$

$$-2\le 2x\le 8,$$

$$-1\le x\le 4.$$

Теперь найдём пересечение полученных промежутков:

$$\left([-1;4]\cap (-\infty;0{,}5]\right)\cup \left([-1;4]\cap [2{,}5;+\infty)\right).$$

Получаем

$$x\in [-1;0{,}5]\cup [2{,}5;4].$$

График функции $$y=|2x-3|$$ — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(1{,}5;0\right)$$. Прямая $$y=2$$ пересекает график в точках с абсциссами $$x=-1$$ и $$x=2{,}5$$, а прямая $$y=5$$ — в точках $$x=-1$$ и $$x=4$$. Поэтому искомые значения $$x$$ соответствуют участкам графика между этими пересечениями.

Ответ

$$x\in [-1;0{,}5]\cup [2{,}5;4].$$