Упр.352 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1 < |3x-8| < 5; в) 1?|2x-11|?5; б) 2 < |7-5x| < 12; г) 3?|15-2x|?7.

Используем свойство модуля: если $$a<|f(x)|<b,$$ то нужно решить две системы неравенств:

$$ -a<f(x)<-a \text{ и } a<f(x)<b $$

То есть находим промежутки, где выражение под модулем лежит между соответствующими границами, и объединяем полученные решения.

1. $$1<|3x-8|<5$$

   $$ -5<3x-8<-1 $$
   $$ 3<3x<7 $$
   $$ 1<x<2\tfrac{1}{3} $$

   $$ 1<3x-8<5 $$
   $$ 9<3x<13 $$
   $$ 3<x<4\tfrac{1}{3} $$

   Следовательно,

   $$ x\in(1;2\tfrac{1}{3})\cup(3;4\tfrac{1}{3}) $$

2. $$2<|7-5x|<12$$

   $$ -12<7-5x<-2 $$
   $$ -19<-5x<-9 $$
   $$ 1{,}8<x<3{,}8 $$

   $$ 2<7-5x<12 $$
   $$ -5<-5x<5 $$
   $$ -1<x<1 $$

   Следовательно,

   $$ x\in(-1;1)\cup(1{,}8;3{,}8) $$

3. $$1\le |2x-11|\le 5$$

   $$ -5\le 2x-11\le -1 $$
   $$ 6\le 2x\le 10 $$
   $$ 3\le x\le 5 $$

   $$ 1\le 2x-11\le 5 $$
   $$ 12\le 2x\le 16 $$
   $$ 6\le x\le 8 $$

   Следовательно,

   $$ x\in[3;5]\cup[6;8] $$

4. $$3\le |15-2x|\le 7$$

   $$ -7\le 15-2x\le -3 $$
   $$ -22\le -2x\le -18 $$
   $$ 9\le x\le 11 $$

   $$ 3\le 15-2x\le 7 $$
   $$ -12\le -2x\le -8 $$
   $$ 4\le x\le 6 $$

   Следовательно,

   $$ x\in[4;6]\cup[9;11] $$

Ответ

а) $$\left(1;2\tfrac{1}{3}\right)\cup\left(3;4\tfrac{1}{3}\right)$$;
б) $$(-1;1)\cup(1{,}8;3{,}8)$$;
в) $$[3;5]\cup[6;8]$$;
г) $$[4;6]\cup[9;11]$$.