Упр.351 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 7/|2x+3|?5x+6;
б) (x^2+3x-10)/|x+1| < 0.

а) Рассмотрим случаи по знаку выражения $$2x+3$$.

1) Если $$x>-\frac{3}{2}$$, то $$|2x+3|=2x+3$$ и

$$\frac{7}{2x+3}\le 5x+6.$$

Так как $$2x+3>0$$, умножим обе части на $$2x+3$$:

$$7\le (5x+6)(2x+3).$$

$$7\le 10x^2+27x+18,$$

$$10x^2+27x+11\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=27^2-4\cdot 10\cdot 11=729-440=289,$$

$$x_{1,2}=\frac{-27\pm 17}{20}.$$

Отсюда

$$x_1=-\frac{11}{5},\qquad x_2=-\frac{1}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$10x^2+27x+11\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le -\frac{11}{5}\ \text{или}\ x\ge -\frac{1}{2}.$$

С учётом условия $$x>-\frac{3}{2}$$ получаем

$$x\ge -\frac{1}{2}.$$

2) Если $$x<-\frac{3}{2}$$, то $$|2x+3|=-(2x+3)$$ и

$$\frac{7}{-(2x+3)}\le 5x+6,$$

то есть

$$\frac{7}{-2x-3}\le 5x+6.$$

Так как $$-2x-3>0$$, умножим на $$-2x-3$$:

$$7\le (5x+6)(-2x-3),$$

$$7\le -10x^2-27x-18,$$

$$10x^2+27x+25\le 0.$$

Для этого квадратного трёхчлена

$$D=27^2-4\cdot 10\cdot 25=729-1000=-271<0,$$

а значит, неравенство решений не имеет.

Итак, для пункта а) получаем

$$x\ge -\frac{1}{2}.$$

б) Так как $$|x+1|>0$$ при $$x\ne -1$$, знак дроби определяется числителем. Поэтому нужно решить систему:

$$x^2+3x-10<0,\qquad x\ne -1.$$

Разложим на множители:

$$x^2+3x-10=(x+5)(x-2).$$

Тогда

$$ (x+5)(x-2)<0,$$

откуда

$$-5<x<2.$$

С учётом ограничения $$x\ne -1$$ получаем

$$(-5,-1)\cup(-1,2).$$

Ответ

а) $$\left[-\frac{1}{2};+\infty\right);$$ б) $$(-5,-1)\cup(-1,2).$$