Упр.350 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) x^2+2|x-1|-6 < 0; в) 3x^2-5|x-2|+8 < 0; б) x^2+|x-3|-9 < 0; г) 2x^2-7|x-1|+3 < 0.

Подробный ответ

а) $$x^2+2|x-1|-6<0$$
Если $$x\ge 1$$, то $$|x-1|=x-1$$:
$$x^2+2(x-1)-6<0$$
$$x^2+2x-8<0$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=2$$
Тогда $$-4<x<2$$, с учётом $$x\ge 1$$ получаем $$1\le x<2$$.
Если $$x<1$$, то $$|x-1|=1-x$$:
$$x^2+2(1-x)-6<0$$
$$x^2-2x-4<0$$
$$x^2-2x-4=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{20}}{2}=1\pm \sqrt5$$
Тогда $$1-\sqrt5<x<1+\sqrt5$$, с учётом $$x<1$$ получаем $$1-\sqrt5<x<1$$.
Объединяя, получаем $$1-\sqrt5<x<2$$.
б) $$x^2+|x-3|-9<0$$
Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$:
$$x^2+x-12<0$$
$$x^2+x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=3$$
Тогда $$-4<x<3$$, с учётом $$x\ge 3$$ решений нет.
Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$:
$$x^2-x-6<0$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=3$$
Тогда $$-2<x<3$$, и это условие подходит полностью.
в) $$3x^2-5|x-2|+8<0$$
Если $$x\ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$:
$$3x^2-5(x-2)+8<0$$
$$3x^2-5x+18<0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 18=25-216=-191<0$$
Решений нет.
Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$:
$$3x^2-5(2-x)+8<0$$
$$3x^2+5x-2<0$$
$$3x^2+5x-2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{6}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac13$$
Тогда $$-2<x<\frac13$$, и это условие подходит полностью.
г) $$2x^2-7|x-1|+3<0$$
Если $$x\ge 1$$, то $$|x-1|=x-1$$:
$$2x^2-7(x-1)+3<0$$
$$2x^2-7x+10<0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 10=49-80=-31<0$$
Решений нет.
Если $$x<1$$, то $$|x-1|=1-x$$:
$$2x^2-7(1-x)+3<0$$
$$2x^2+7x-4<0$$
$$2x^2+7x-4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=81$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{4}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac12$$
Тогда $$-4<x<\frac12$$, и это условие подходит полностью.