Упр.347 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) |x^2+3x-4| < |3x|; в) |x^2-3x+2| < |3x-2|; б) |x^2-2x+1| < |x-3|; г) |x^2-x| > |x-1|.
а) $$|x^2+3x-4|<|3x|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(x^2+3x-4\right)^2<9x^2$$
$$\left(x^2-4\right)\left(x^2+6x-4\right)<0$$
Найдём корни множителей:
$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^2+6x-4=0 \Rightarrow x=\frac{-6\pm\sqrt{36+16}}{2}=-3\pm\sqrt{13}$$
Тогда
$$\left(x+3+\sqrt{13}\right)\left(x+2\right)\left(x+3-\sqrt{13}\right)\left(x-2\right)<0$$
Отсюда
$$x\in(-3-\sqrt{13};-2)\cup(-3+\sqrt{13};2).$$
б) $$|x^2-2x+1|<|x-3|$$
Так как $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ получаем:
$$\left(x^2-2x+1\right)^2<(x-3)^2$$
$$\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2-x-2\right)<0$$
Первый множитель всегда положителен, так как
$$D=3^2-4\cdot 4=9-16<0.$$
Значит, нужно решить
$$x^2-x-2<0$$
$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)<0$$
Отсюда
$$x\in(-1;2).$$
в) $$|x^2-3x+2|<|3x-2|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(x^2-3x+2\right)^2<\left(3x-2\right)^2$$
$$\left(x^2-6x+4\right)x^2<0$$
Решим неравенство:
$$x^2-6x+4=0$$
$$D=6^2-4\cdot 4=36-16=20$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2}=3\pm\sqrt{5}$$
Тогда
$$x^2\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right)<0$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ получаем
$$x\in(3-\sqrt{5};0)\cup(0;3+\sqrt{5}).$$
г) $$|x^2-x|>|x-1|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(x^2-x\right)^2>\left(x-1\right)^2$$
$$\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2-1\right)>0$$
$$\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)\left(x-1\right)>0$$
$$\left(x-1\right)^3\left(x+1\right)>0$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-3-\sqrt{13};-2)\cup(-3+\sqrt{13};2)$$; б) $$(-1;2)$$; в) $$\left(3-\sqrt{5};0\right)\cup\left(0;3+\sqrt{5}\right)$$; г) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
