Упр.346 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 346. Решите неравенство |x^2-2x| < x+4 и проиллюстрируйте ответ с помощью графиков функций y=|x^2-2x| и y=x+4.

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$|x^2-2x|<x+4.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно выполняться

$$x+4>0,$$

то есть $$x>-4.$$

При этом неравенство $$|A|<B$$ равносильно системе

$$-B<A<B.$$

Значит, получаем систему

$$ \begin{cases} -(x+4)<x^2-2x,\\ x^2-2x<x+4. \end{cases} $$

1) Решим первое неравенство:

$$ x^2-2x>-x-4 $$

$$ x^2-x+4>0. $$

Дискриминант:

$$ D=1-16=-15<0. $$

Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-x+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

2) Решим второе неравенство:

$$ x^2-2x<x+4 $$

$$ x^2-3x-4<0 $$

$$ (x+1)(x-4)<0. $$

Отсюда

$$-1<x<4.$$

С учётом условия $$x>-4$$ получаем тот же промежуток:

$$-1<x<4.$$

Графически это означает, что график функции $$y=|x^2-2x|$$ расположен ниже прямой $$y=x+4$$ при $$x\in(-1;4)$$, а точки пересечения графиков соответствуют значениям $$x=-1$$ и $$x=4$$.