Упр.345 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) |x^2+4x-5| < x^2-5; в) |x^2-5x+4| > 3x+4;
б) |x^2-3x+4| < x+1; г) |2x^2+x-1| > 4x+1.

Подробный ответ

а) $$|x^2+4x-5|
Правая часть должна быть положительной:
$$x^2-5>0.$$
Рассмотрим два случая:
1) $$x^2+4x-5
$$4x<0,\quad x<0.$$
2) $$x^2+4x-5>-(x^2-5)$$
$$x^2+4x-5>5-x^2$$
$$2x^2+4x-10>0$$
$$x^2+2x-5>0.$$
Корни уравнения $$x^2+2x-5=0$$:
$$D=2^2+4\cdot 5=24,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}=-1\pm\sqrt6.$$
Тогда
$$x<-1-\sqrt6 \quad \text{или} \quad x>-1+\sqrt6.$$
С учётом условия $$x<0$$ получаем:
$$x<-1-\sqrt6.$$
б) $$|x^2-3x+4|
Необходимо, чтобы $$x+1>0,$$ то есть $$x>-1.$$
Рассмотрим два случая:
1) $$x^2-3x+4
$$x^2-4x+3<0$$
$$ (x-1)(x-3)<0,$$
откуда $$1
2) $$x^2-3x+4>-(x+1)$$
$$x^2-2x+5>0.$$
Дискриминант:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0,$$
значит, неравенство выполняется при всех $$x.$$
С учётом условия $$x>-1$$ и результата из первого случая получаем:
$$1
в) $$|x^2-5x+4|>3x+4$$
Рассмотрим два случая:
1) $$x^2-5x+4<-(3x+4)$$
$$x^2-2x+8<0.$$
Но
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 8=4-32=-28<0,$$
поэтому решений нет.
2) $$x^2-5x+4>3x+4$$
$$x^2-8x>0$$
$$x(x-8)>0.$$
Отсюда
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>8.$$
г) $$|2x^2+x-1|>4x+1$$
Рассмотрим два случая:
1) $$2x^2+x-1<-(4x+1)$$
$$2x^2+5x<0$$
$$x(2x+5)<0.$$
Отсюда
$$-\frac52
2) $$2x^2+x-1>4x+1$$
$$2x^2-3x-2>0.$$
Найдём корни:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4},$$
то есть $$x_1=-\frac12,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Объединяя оба случая, получаем:
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>2.$$