Упр.342 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) |x^2+1| > 2; в) |x^2-2x| < 6; б) |x^2-2x| < 3; г) |x^2+x-1| > 1.
$$|x^2+1|>2$$
Так как $$x^2+1\ge 1$$, то $$x^2+1>2$$ или $$x^2+1<-2$$.
Второе неравенство решений не имеет, а из первого получаем:
$$x^2>1$$
$$x<-1 \text{ или } x>1$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
$$|x^2-2x|<3$$
Это равносильно системе:
$$-3<x^2-2x<3$$
Рассмотрим два неравенства:
$$x^2-2x+3>0$$
Это верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0.$$
Остаётся решить:
$$x^2-2x-3<0$$
$$ (x-3)(x+1)<0 $$
Отсюда
$$-1<x<3.$$
$$|x^2-2x|<6$$
Это равносильно неравенству:
$$-6<x^2-2x<6$$
Первое неравенство:
$$x^2-2x+6>0$$
Так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20<0,$$
то оно верно при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
Решаем второе:
$$x^2-2x-6<0$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+24}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2}=1\pm\sqrt7$$
Следовательно,
$$1-\sqrt7<x<1+\sqrt7.$$
$$|x^2+x-1|>1$$
Это означает, что
$$x^2+x-1<-1 \text{ или } x^2+x-1>1.$$
1) $$x^2+x<0$$
$$x(x+1)<0$$
Отсюда
$$-1<x<0.$$
2) $$x^2+x-2>0$$
$$ (x+2)(x-1)>0 $$
Отсюда
$$x<-2 \text{ или } x>1.$$
Объединяя решения, получаем:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; б) $$(-1;3)$$; в) $$\left(1-\sqrt7;\,1+\sqrt7\right)$$; г) $$(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(1;+\infty)$$.
