Упр.333 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (3x-2)/x-(3x+4)/(x^2-2x)=1/|x-2|;
б) 4/|3-x|-4/(x+3)-1=0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{3x-2}{x}-\frac{3x+4}{x^2-2x}=\frac{1}{|x-2|}.$$
Область допустимых значений: $$x\ne 0,\; x\ne 2.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x>2$$, то $$|x-2|=x-2$$ и $$x^2-2x=x(x-2)$$. Тогда
$$\frac{3x-2}{x}-\frac{3x+4}{x(x-2)}=\frac{1}{x-2}.$$
Умножим на $$x(x-2)$$:
$$ (3x-2)(x-2)-(3x+4)=x. $$
$$3x^2-6x-2x+4-3x-4=x,$$
$$3x^2-12x=0,$$
$$3x(x-4)=0.$$
С учётом условия $$x>2$$ получаем $$x=4$$.
2) Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$ и $$x^2-2x=x(x-2)=-x(2-x)$$. Тогда
$$\frac{3x-2}{x}+\frac{3x+4}{x(2-x)}=\frac{1}{2-x}.$$
Умножим на $$x(2-x)$$:
$$ (3x-2)(2-x)+(3x+4)=x. $$
$$6x-3x^2-4+2x+3x+4=x,$$
$$3x^2-10x=0,$$
$$x(3x-10)=0.$$
С учётом условия $$x<2$$ подходит только $$x=0$$, но это не входит в ОДЗ. Значит, решений в этом случае нет.
Итак, для пункта а) решение: $$x=4$$.
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{4}{|3-x|}-\frac{4}{x+3}-1=0.$$
Область допустимых значений: $$x\ne 3,\; x\ne -3.$$
1) Если $$x<3$$, то $$|3-x|=3-x$$. Тогда
$$\frac{4}{3-x}-\frac{4}{x+3}-1=0.$$
Умножим на $$ (3-x)(x+3) $$:
$$4(x+3)-4(3-x)-(3-x)(x+3)=0.$$
$$4x+12-12+4x-9+x^2=0,$$
$$x^2+8x-9=0.$$
$$D=8^2+4\cdot 9=100,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{2}.$$
Получаем $$x_1=-9,\; x_2=1.$$ Оба значения удовлетворяют условию $$x<3$$.
2) Если $$x>3$$, то $$|3-x|=x-3$$. Тогда
$$\frac{4}{x-3}-\frac{4}{x+3}-1=0.$$
Умножим на $$ (x-3)(x+3) $$:
$$4(x+3)-4(x-3)-(x-3)(x+3)=0.$$
$$4x+12-4x+12-x^2+9=0,$$
$$x^2=33,$$
$$x=\pm\sqrt{33}.$$
С учётом условия $$x>3$$ подходит только $$x=\sqrt{33}$$.
Итак, для пункта б) решения: $$x=-9,\; 1,\; \sqrt{33}$$.