Упр.330 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 330. Решите уравнение |x-2|+|x-3|=1 и проиллюстрируйте ответ с помощью графика функции y=|x-2|+|x-3|.

Рассмотрим функцию $$y=|x-2|+|x-3|.$$ Разобьём числовую прямую на промежутки по точкам $$2$$ и $$3$$.

1) Если $$x\le 2$$, то

$$|x-2|=2-x,\quad |x-3|=3-x,$$

поэтому

$$y=2-x+3-x=5-2x.$$

Решаем уравнение:

$$5-2x=1,$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

2) Если $$2<x\le 3$$, то

$$|x-2|=x-2,\quad |x-3|=3-x,$$

следовательно,

$$y=x-2+3-x=1.$$

Значит, при любом $$x$$ из этого промежутка выполняется равенство $$y=1$$.

3) Если $$x>3$$, то

$$|x-2|=x-2,\quad |x-3|=x-3,$$

поэтому

$$y=x-2+x-3=2x-5.$$

Решаем уравнение:

$$2x-5=1,$$

$$2x=6,$$

$$x=3.$$

Итак, уравнение $$|x-2|+|x-3|=1$$ имеет решения $$x=2$$ и $$x=3$$, а на промежутке $$2\le x\le 3$$ левая часть равна $$1$$.

График функции $$y=|x-2|+|x-3|$$ состоит из трёх частей:

• при $$x\le 2$$: $$y=5-2x$$;
• при $$2\le x\le 3$$: $$y=1$$;
• при $$x\ge 3$$: $$y=2x-5$$.

Минимальное значение функции равно $$1$$ и достигается при всех $$x\in[2;3]$$.

Ответ

$$x\in[2;3].$$