Упр.329 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^2+2x+|x+1|=0;
б) x^2-2x+2·|x-1|+1=0;
в) 4x(x-1)+|2x-1|=1.

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x \ge -1,$$ то $$|x+1|=x+1.$$ Тогда

$$ x^2+2x+x+1=0 $$
$$ x^2+3x+1=0. $$

$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt5}{2}. $$

Оба корня удовлетворяют условию $$x\ge -1.$$

2) Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-(x+1)=-x-1.$$ Тогда

$$ x^2+2x-x-1=0 $$
$$ x^2+x-1=0. $$

$$ D=1^2-4\cdot 1\cdot(-1)=1+4=5, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}. $$

Из них условию $$x<-1$$ удовлетворяет только $$\frac{-1-\sqrt5}{2}.$$

Итак, решения уравнения:

$$ x=\frac{-3-\sqrt5}{2},\ \frac{-3+\sqrt5}{2},\ \frac{-1-\sqrt5}{2}. $$

б) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1.$$ Тогда

$$ x^2-2x+2(x-1)+1=0 $$
$$ x^2-1=0 $$
$$ x=\pm 1. $$

С учётом условия $$x\ge 1$$ получаем $$x=1.$$

2) Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x.$$ Тогда

$$ x^2-2x+2(1-x)+1=0 $$
$$ x^2-4x+3=0. $$

$$ D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4, $$
$$ x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}. $$

Получаем $$x=1$$ и $$x=3.$$ С учётом условия $$x<1$$ решений нет.

Значит, единственное решение: $$x=1.$$

в) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge \frac12,$$ то $$|2x-1|=2x-1.$$ Тогда

$$ 4x(x-1)+2x-1=1 $$
$$ 4x^2-4x+2x-1=1 $$
$$ 4x^2-2x-2=0 $$
$$ 2x^2-x-1=0. $$

$$ D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9, $$
$$ x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}. $$

Получаем $$x=-\frac12$$ и $$x=1.$$ С учётом условия $$x\ge \frac12$$ подходит только $$x=1.$$

2) Если $$x<\frac12,$$ то $$|2x-1|=1-2x.$$ Тогда

$$ 4x(x-1)+1-2x=1 $$
$$ 4x^2-4x-2x=0 $$
$$ 4x^2-6x=0 $$
$$ 2x(2x-3)=0. $$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac32.$$ С учётом условия $$x<\frac12$$ подходит только $$x=0.$$

Итак, решения уравнения: $$x=0$$ и $$x=1.$$

Ответ

а) $$\frac{-3-\sqrt5}{2},\ \frac{-3+\sqrt5}{2},\ \frac{-1-\sqrt5}{2}$$; б) $$1$$; в) $$0,\ 1$$.