Упр.328 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x^2-4)|x|+3=0; в) 3/(|x|-2)-9/(|x|+3)=x^2/(x^2+|x|-6);
б) (p^2-7)|p|=-6; г) (x^2-4|x|-2)/(|x|-2x^2)=1.

Подробный ответ

а) $$\left(x^2-4\right)|x|+3=0.$$
Пусть $$y=|x|,$$ тогда $$x^2=y^2$$ и получаем:
$$y^3-4y+3=0.$$
Разложим на множители:
$$y^3-4y+3=(y-1)(y^2+y-3)=0.$$
Отсюда:
$$y_1=1,$$
$$y_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.$$
Так как $$y=|x|\ge 0,$$ подходит только $$y=1$$ и $$y=\frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$
Тогда:
$$|x|=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$|x|=\frac{\sqrt{13}-1}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{13}-1}{2}.$$
б) $$\left(p^2-7\right)|p|=-6.$$
Пусть $$y=|p|,$$ тогда $$p^2=y^2,$$ и получаем:
$$y^3-7y+6=0.$$
Разложим на множители:
$$y^3-7y+6=(y-1)(y^2+y-6)=0.$$
Отсюда:
$$y_1=1,\quad y_2=2,\quad y_3=-3.$$
Так как $$y=|p|\ge 0,$$ остаются значения $$y=1$$ и $$y=2.$$
Тогда:
$$|p|=1 \Rightarrow p=\pm 1,$$
$$|p|=2 \Rightarrow p=\pm 2.$$
в) $$\frac{3}{|x|-2}-\frac{9}{|x|+3}=\frac{x^2}{x^2+|x|-6}.$$
Пусть $$y=|x|,$$ тогда $$x^2=y^2,$$ и уравнение принимает вид:
$$\frac{3}{y-2}-\frac{9}{y+3}=\frac{y^2}{y^2+y-6}.$$
Так как $$y^2+y-6=(y+3)(y-2),$$ получаем:
$$\frac{3}{y-2}-\frac{9}{y+3}=\frac{y^2}{(y+3)(y-2)}.$$
Умножим на $$\left(y-2\right)\left(y+3\right):$$
$$3(y+3)-9(y-2)=y^2.$$
$$3y+9-9y+18=y^2.$$
$$y^2+6y-27=0.$$
$$D=6^2+4\cdot 27=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 12}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-9,\quad y_2=3.$$
Так как $$y=|x|\ge 0,$$ подходит только $$y=3.$$
Следовательно,
$$|x|=3 \Rightarrow x=\pm 3.$$
г) $$\frac{x^2-4|x|-2}{|x|-2x^2}=1.$$
Пусть $$y=|x|,$$ тогда $$x^2=y^2,$$ и получаем:
$$\frac{y^2-4y-2}{y-2y^2}=1.$$
ОДЗ: $$y-2y^2\ne 0,$$ то есть $$y(1-2y)\ne 0.$$
Решим уравнение:
$$y^2-4y-2=y-2y^2.$$
$$3y^2-5y-2=0.$$
$$D=5^2+4\cdot 3\cdot 2=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$
Получаем:
$$y_1=-\frac{1}{3},\quad y_2=2.$$
Так как $$y=|x|\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$
Тогда
$$|x|=2 \Rightarrow x=\pm 2.$$