Упр.327 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$(a+b+c)x^2=2(a+b)x-a-b+c$$ имеет рациональные корни при рациональных значениях параметров $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$x^2-4|x+1|-41=0$$;
   б) $$3x^2-5|x-2|-12=0$$.

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x \ge -1,$$ то $$|x+1|=x+1.$$ Тогда

$$x^2-4(x+1)-41=0$$

$$x^2-4x-45=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-45)=16+180=196$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 14}{2}$$

Получаем $$x_1=-5,$$ $$x_2=9.$$ Условию $$x \ge -1$$ удовлетворяет только $$x=9.$$

2) Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-(x+1).$$ Тогда

$$x^2+4(x+1)-41=0$$

$$x^2+4x-37=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-37)=16+148=164$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{164}}{2}=-2\pm \sqrt{41}$$

Из них условию $$x<-1$$ удовлетворяет только $$x=-2-\sqrt{41}.$$

Следовательно, для пункта а):

$$x=-2-\sqrt{41},\; 9.$$

б) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x \ge 2,$$ то $$|x-2|=x-2.$$ Тогда

$$3x^2-5(x-2)-12=0$$

$$3x^2-5x-2=0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$

Получаем $$x_1=-\frac13,$$ $$x_2=2.$$ Условию $$x \ge 2$$ удовлетворяет $$x=2.$$

2) Если $$x<2,$$ то $$|x-2|=-(x-2).$$ Тогда

$$3x^2+5(x-2)-12=0$$

$$3x^2+5x-22=0$$

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-22)=25+264=289$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 17}{6}$$

Получаем $$x_1=-\frac{11}{3},$$ $$x_2=2.$$ Условию $$x<2$$ удовлетворяет $$x=-\frac{11}{3}.$$

Следовательно, для пункта б):

$$x=-\frac{11}{3},\; 2.$$

Ответ

а) $$-2-\sqrt{41},\; 9$$; б) $$-\frac{11}{3},\; 2$$.