Упр.325 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) |x^2+3x-4|=3x; г) |2x^2+5x-10|=5-2x;
б) |x^2-4x+4|=x; д) |x^2-x+3|=x+2;
в) 6x=|x^2+8x-8|; е) x-1=|6x^2+2x-2|.

Подробный ответ

а) $$|x^2+3x-4|=3x$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2+3x-4=3x \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2;$$
$$x^2+3x-4=-3x \Rightarrow x^2+6x-4=0.$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-4)=36+16=52,$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{52}}{2}=-3\pm\sqrt{13}.$$
С учётом условия $$3x\ge 0$$, то есть $$x\ge 0$$, подходят только $$x=2$$ и $$x=\sqrt{13}-3$$.
б) $$|x^2-4x+4|=x$$
$$x^2-4x+4=x \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x=1,\ 4;$$
$$x^2-4x+4=-x \Rightarrow x^2-3x+4=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7,$$
значит, действительных корней нет.
Ответ: $$1,\ 4$$.
в) $$6x=|x^2+8x-8|$$
$$x^2+8x-8=6x \Rightarrow x^2+2x-8=0 \Rightarrow x=-4,\ 2;$$
$$x^2+8x-8=-6x \Rightarrow x^2+14x-8=0.$$
$$D=14^2-4\cdot 1\cdot(-8)=196+32=228,$$
$$x=\frac{-14\pm\sqrt{228}}{2}=-7\pm\sqrt{57}.$$
С учётом условия $$6x\ge 0$$, то есть $$x\ge 0$$, подходит только $$x=2$$ и $$x=\sqrt{57}-7$$.
г) $$|2x^2+5x-10|=5-2x$$
$$2x^2+5x-10=5-2x \Rightarrow 2x^2+7x-15=0;$$
$$2x^2+5x-10=-(5-2x)=2x-5 \Rightarrow 2x^2+3x-5=0.$$
$$2x^2+7x-15=0 \Rightarrow D=7^2-4\cdot 2\cdot(-15)=169,$$
$$x=\frac{-7\pm 13}{4} \Rightarrow x=-5,\ \frac{3}{2};$$
$$2x^2+3x-5=0 \Rightarrow D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=49,$$
$$x=\frac{-3\pm 7}{4} \Rightarrow x=-\frac{5}{2},\ 1.$$
С учётом условия $$5-2x\ge 0$$, то есть $$x\le \frac{5}{2}$$, все найденные корни подходят.
д) $$|x^2-x+3|=x+2$$
$$x^2-x+3=x+2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow x=1;$$
$$x^2-x+3=-(x+2) \Rightarrow x^2=-5.$$
Второе уравнение действительных корней не имеет. С учётом условия $$x+2\ge 0$$ получаем единственный корень $$x=1$$.
е) $$x-1=|6x^2+2x-2|$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$.
$$6x^2+2x-2=x-1 \Rightarrow 6x^2+x-1=0;$$
$$6x^2+2x-2=-(x-1)=1-x \Rightarrow 6x^2+3x-3=0 \Rightarrow 2x^2+x-1=0.$$
$$6x^2+x-1=0 \Rightarrow D=1^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$
$$x=\frac{-1\pm 5}{12} \Rightarrow x=-\frac12,\ \frac13;$$
$$2x^2+x-1=0 \Rightarrow D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$
$$x=\frac{-1\pm 3}{4} \Rightarrow x=-1,\ \frac12.$$
Ни один из найденных корней не удовлетворяет условию $$x\ge 1$$, значит корней нет.