Упр.32 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 32. Упростите выражение (a+v(a^2-x^2))/x^2, если x=2v(a-1), и найдите его значение при: а) a=1,5; б) a=3,87.

Из условия известно, что $$x=2\sqrt{a-1}.$$ Тогда

$$x^2=4(a-1).$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}=\frac{a+\sqrt{a^2-4(a-1)}}{4(a-1)}.$$

Упростим подкоренное выражение:

$$a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

Тогда

$$\frac{a+\sqrt{(a-2)^2}}{4(a-1)}=\frac{a+|a-2|}{4(a-1)}.$$

Теперь найдём значения выражения.

а) При $$a=1{,}5$$:

$$\frac{1{,}5+|1{,}5-2|}{4(1{,}5-1)}=\frac{1{,}5+0{,}5}{4\cdot 0{,}5}=\frac{2}{2}=1.$$

б) При $$a=3{,}87$$:

$$\frac{3{,}87+|3{,}87-2|}{4(3{,}87-1)}=\frac{3{,}87+1{,}87}{4\cdot 2{,}87}=\frac{5{,}74}{11{,}48}=\frac12.$$

Ответ

$$\frac{a+|a-2|}{4(a-1)};$$ а) $$1$$; б) $$\frac12$$.