Упр.317 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 317. При каких значениях a неравенство (a-2)x^2-4x+a+2 < 0 верно при любом х?

Чтобы неравенство

$$ (a-2)x^2-4x+a+2<0 $$

было верно при любом $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть отрицательным при всех значениях $$x$$. Для этого необходимо:

• старший коэффициент был отрицательным: $$a-2<0$$;
• дискриминант был отрицательным: $$D<0$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=(-4)^2-4(a-2)(a+2) $$

$$ D=16-4(a^2-4)=16-4a^2+16=32-4a^2 $$

Требуем:

$$ 32-4a^2<0 $$

$$ 4a^2>32 $$

$$ a^2>8 $$

$$ a<-2\sqrt{2}\quad \text{или}\quad a>2\sqrt{2} $$

С учётом условия $$a-2<0$$ получаем:

$$ a<2 $$

Пересечение условий даёт:

$$ a<-2\sqrt{2} $$

Ответ

$$(-\infty;\,-2\sqrt{2})$$