Упр.315 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 315. При каких значениях a множеством решений неравенства (x+a)^2(x-6)(5x-2) < 0 является числовой промежуток (0,4; 6)?

Рассмотрим неравенство

$$ (x+a)^2(x-6)(5x-2)<0. $$

Так как $$ (x+a)^2 \ge 0 $$ при любых $$x$$ и обращается в нуль только при $$x=-a$$, то знак произведения определяется множителем

$$ (x-6)(5x-2). $$

Чтобы множество решений было промежутком $$ (0{,}4;6), $$ нужно, чтобы неравенство

$$ (x-6)(5x-2)<0 $$

имело решения именно при

$$ 0{,}4<x<6. $$

При этом точка $$x=-a$$ не должна попадать внутрь этого промежутка, иначе в ней произведение будет равно нулю и она не войдёт в множество решений. Значит, должно выполняться

$$ -a\le 0{,}4 \quad \text{или} \quad -a\ge 6. $$

Отсюда получаем

$$ a\ge -0{,}4 \quad \text{или} \quad a\le -6. $$

Итак,

$$ a\in(-\infty;-6]\cup[-0{,}4;+\infty). $$

Ответ

$$ a\in(-\infty;-6]\cup[-0{,}4;+\infty). $$