Упр.315 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение имеет два корня: а) $$4x^2-2x+a=0$$; б) $$ax^2+8x+4=0$$; в) $$2x^2+(a-4)x-2a=0$$; г) $$3x^2+(2a+3)x+a+2=0$$?
2. При каких значениях $$a$$ множеством решений неравенства $$(x+a)^2(x-6)(5x-2)<0$$ является числовой промежуток $$(0,4; 6)$$?

Рассмотрим неравенство

$$(x+a)^2(x-6)(5x-2)<0.$$

Так как $$(x+a)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$ и обращается в нуль только при $$x=-a$$, то знак произведения определяется множителем

$$(x-6)(5x-2).$$

Чтобы множество решений было промежутком $$(0{,}4;6),$$ нужно, чтобы неравенство

$$(x-6)(5x-2)<0$$

имело решения именно при

$$0{,}4<x<6.$$

При этом точка $$x=-a$$ не должна попадать внутрь этого промежутка, иначе в ней произведение будет равно нулю и она не войдёт в множество решений. Значит, должно выполняться

$$-a\le 0{,}4 \quad \text{или} \quad -a\ge 6.$$

Отсюда получаем

$$a\ge -0{,}4 \quad \text{или} \quad a\le -6.$$

Итак,

$$a\in(-\infty;-6]\cup[-0{,}4;+\infty).$$

Ответ

$$a\in(-\infty;-6]\cup[-0{,}4;+\infty).$$