Упр.310 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1 < (x+2)/(5-x) < 6; б) -1 < (3x+1)/(5-2x) < 1.

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$ 1<\frac{x+2}{5-x}<6 $$

1) Решим неравенство

$$ \frac{x+2}{5-x}>1 $$

$$ \frac{x+2-(5-x)}{5-x}>0 $$

$$ \frac{2x-3}{5-x}>0 $$

Отсюда

$$ \frac{2x-3}{x-5}<0 $$

Значит,

$$ \frac32<x<5. $$

2) Решим неравенство

$$ \frac{x+2}{5-x}<6 $$

$$ \frac{x+2-6(5-x)}{5-x}<0 $$

$$ \frac{7x-28}{5-x}<0 $$

$$ \frac{x-4}{5-x}<0 $$

Отсюда

$$ x<4 \quad \text{или} \quad x>5. $$

Пересекаем полученные промежутки:

$$ \left(\frac32;5\right)\cap\bigl((-\infty;4)\cup(5;+\infty)\bigr)=\left(\frac32;4\right). $$

Целые значения:

$$ x=2,\ 3. $$

б) Рассмотрим систему неравенств:

$$ -1<\frac{3x+1}{5-2x}<1 $$

1) Решим неравенство

$$ \frac{3x+1}{5-2x}>-1 $$

$$ \frac{3x+1+5-2x}{5-2x}>0 $$

$$ \frac{x+6}{5-2x}>0 $$

$$ \frac{x+6}{2x-5}<0 $$

Отсюда

$$ -6<x<\frac52. $$

2) Решим неравенство

$$ \frac{3x+1}{5-2x}<1 $$

$$ \frac{3x+1-5+2x}{5-2x}<0 $$

$$ \frac{5x-4}{5-2x}<0 $$

$$ \frac{5x-4}{2x-5}>0 $$

Отсюда

$$ x<\frac45 \quad \text{или} \quad x>\frac52. $$

Пересекаем полученные промежутки:

$$ \left(-6;\frac52\right)\cap\left((-\infty;\frac45)\cup\left(\frac52;+\infty\right)\right)=\left(-6;\frac45\right). $$

Целые значения:

$$ x=-5,-4,-3,-2,-1,0. $$

Ответ

а) $$2,\ 3$$; б) $$-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0$$.