Упр.310 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите относительно $$x$$ уравнение:
   а) $$ax=a+6$$;
   д) $$ax+8x=a^2+6a-16$$;
   б) $$c(c-2)x=c^2-4$$;
   е) $$b^2x-x=b^2+4b-5$$;
   в) $$p^2x-3px=p^2-9$$;
   ж) $$cx+x(2-5c)=1-2c$$;
   г) $$ax+5a=30+6x$$;
   з) $$(a^2+1)x+a(a-2x)=1$$.
2. Найдите целые значения $$x$$, удовлетворяющие двойному неравенству:
   а) $$1<\frac{x+2}{5-x}<6$$;
   б) $$-1<\frac{3x+1}{5-2x}<1$$.

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$1<\frac{x+2}{5-x}<6$$

1) Решим неравенство

$$\frac{x+2}{5-x}>1$$

$$\frac{x+2-(5-x)}{5-x}>0$$

$$\frac{2x-3}{5-x}>0$$

Отсюда

$$\frac{2x-3}{x-5}<0$$

Значит,

$$\frac32<x<5.$$

2) Решим неравенство

$$\frac{x+2}{5-x}<6$$

$$\frac{x+2-6(5-x)}{5-x}<0$$

$$\frac{7x-28}{5-x}<0$$

$$\frac{x-4}{5-x}<0$$

Отсюда

$$x<4 \quad \text{или} \quad x>5.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$\left(\frac32;5\right)\cap\bigl((-\infty;4)\cup(5;+\infty)\bigr)=\left(\frac32;4\right).$$

Целые значения:

$$x=2,\ 3.$$

б) Рассмотрим систему неравенств:

$$-1<\frac{3x+1}{5-2x}<1$$

1) Решим неравенство

$$\frac{3x+1}{5-2x}>-1$$

$$\frac{3x+1+5-2x}{5-2x}>0$$

$$\frac{x+6}{5-2x}>0$$

$$\frac{x+6}{2x-5}<0$$

Отсюда

$$-6<x<\frac52.$$

2) Решим неравенство

$$\frac{3x+1}{5-2x}<1$$

$$\frac{3x+1-5+2x}{5-2x}<0$$

$$\frac{5x-4}{5-2x}<0$$

$$\frac{5x-4}{2x-5}>0$$

Отсюда

$$x<\frac45 \quad \text{или} \quad x>\frac52.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$\left(-6;\frac52\right)\cap\left((-\infty;\frac45)\cup\left(\frac52;+\infty\right)\right)=\left(-6;\frac45\right).$$

Целые значения:

$$x=-5,-4,-3,-2,-1,0.$$

Ответ

а) $$2,\ 3$$; б) $$-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0$$.