Упр.307 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Изобразите схематически график функции $$y=x^2-9|x|+8$$ и укажите промежутки возрастания и убывания этой функции.
2. Найдите множество решений неравенства:
   а) $$\frac{6}{x-2}-\frac{1}{x}<0$$; б) $$\frac{3}{x+6}-\frac{2}{x+1}\geq 0$$; в) $$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}<1$$; г) $$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x-2}>2$$.

1. а) $$\frac{6}{x-2}-\frac{1}{x}<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{6x-(x-2)}{x(x-2)}<0$$

   $$\frac{5x+2}{x(x-2)}<0$$

   Критические точки: $$x=-\frac{2}{5},\ 0,\ 2.$$

   По знакам дроби получаем:

   $$x<-\frac{2}{5},\quad 0<x<2.$$

2. б) $$\frac{3}{x+6}-\frac{2}{x+1}\ge 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3(x+1)-2(x+6)}{(x+6)(x+1)}\ge 0$$

   $$\frac{x-9}{(x+6)(x+1)}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-6,\ -1,\ 9.$$

   По знакам дроби:

   $$-6<x<-1,\quad x\ge 9.$$

3. в) $$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}<1$$

   Перенесём $$1$$ в левую часть:

   $$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}-1<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2(x-1)-(x+1)-(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}<0$$

   $$\frac{1}{(x+1)(x-1)}<0$$

   Значит, знаменатель должен быть отрицательным:

   $$x<-1,\quad x>1.$$

4. г) $$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x-2}>2$$

   Перенесём $$2$$ в левую часть:

   $$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x-2}-2>0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3(x-2)-3(x+2)-2(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}>0$$

   $$\frac{-2x^2-4}{(x+2)(x-2)}>0$$

   $$\frac{2x^2+4}{(x+2)(x-2)}<0$$

   Числитель всегда положителен, значит нужно, чтобы

   $$(x+2)(x-2)<0.$$

   Отсюда:

   $$-2<x<2.$$

Ответ

а) $$(-\infty;-\frac{2}{5})\cup(0;2)$$; б) $$(-6;-1)\cup[9;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; г) $$(-2;2)$$.