Упр.306 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) ax/(x^2+1) < 5; б) (ax-3)/(x^2+2) < 1,5?

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{ax}{x^2+1}<5.$$

Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, умножим обе части на $$x^2+1$$:

$$ax<5x^2+5.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5x^2-ax+5>0.$$

Чтобы неравенство выполнялось при любых $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$. Для этого достаточно, чтобы его дискриминант был отрицательным:

$$D=a^2-4\cdot 5\cdot 5=a^2-100<0.$$

Отсюда

$$a^2<100,$$

$$-10<a<10.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{ax-3}{x^2+2}<1{,}5.$$

Так как $$x^2+2>0$$ при любых $$x$$, умножим обе части на $$x^2+2$$:

$$ax-3<1{,}5(x^2+2).$$

Умножим на $$2$$:

$$2ax-6<3x^2+6.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3x^2-2ax+12>0.$$

Это неравенство должно выполняться при любых $$x$$, значит дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=(2a)^2-4\cdot 3\cdot 12=4a^2-144<0.$$

Тогда

$$4a^2<144,$$

$$a^2<36,$$

$$-6<a<6.$$

Ответ

а) $$-10<a<10$$; б) $$-6<a<6$$.