Упр.304 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v((x^2+x-6)/(x-8)); б) v((x^3-4x^2+x-4)/(x+1))?

Чтобы выражение с квадратным корнем имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю.

а)

$$ \frac{x^2+x-6}{x-8}\ge 0 $$
Разложим числитель на множители:
$$ x^2+x-6=(x+3)(x-2) $$
Тогда
$$ \frac{(x+3)(x-2)}{x-8}\ge 0 $$
Критические точки: $$x=-3,\;2,\;8.$$
Исследуем знаки на промежутках. Получаем:
$$ x\in[-3;2]\cup(8;+\infty) $$

б)

$$ \frac{x^3-4x^2+x-4}{x+1}\ge 0 $$
Сгруппируем и разложим на множители:
$$ x^3-4x^2+x-4=x^2(x-4)+(x-4)=(x^2+1)(x-4) $$
Тогда
$$ \frac{(x^2+1)(x-4)}{x+1}\ge 0 $$
Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ знак дроби определяется выражением
$$ \frac{x-4}{x+1}\ge 0 $$
Критические точки: $$x=-1,\;4.$$
По знакам на промежутках:
$$ x\in(-\infty;-1)\cup[4;+\infty) $$

Ответ

а) $$[-3;2]\cup(8;+\infty)$$;
б) $$(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)$$.