Упр.304 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите систему неравенств: а) $$\begin{cases}|x-3|?2,\\|3-2x|?1;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}|x+4|>2,\\|2x-3{,}5|<0{,}5;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}|2x-5|<5,\\|5x+1|<21;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}|3x-1|?7,\\|x-7|?2.\end{cases}$$
2. При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение: а) $$\sqrt{\frac{x^2+x-6}{x-8}}$$; б) $$\sqrt{\frac{x^3-4x^2+x-4}{x+1}}$$?

Чтобы выражение с квадратным корнем имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю.

а)

$$\frac{x^2+x-6}{x-8}\ge 0$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$
Тогда
$$\frac{(x+3)(x-2)}{x-8}\ge 0$$
Критические точки: $$x=-3,\;2,\;8.$$
Исследуем знаки на промежутках. Получаем:
$$x\in[-3;2]\cup(8;+\infty)$$

б)

$$\frac{x^3-4x^2+x-4}{x+1}\ge 0$$
Сгруппируем и разложим на множители:
$$x^3-4x^2+x-4=x^2(x-4)+(x-4)=(x^2+1)(x-4)$$
Тогда
$$\frac{(x^2+1)(x-4)}{x+1}\ge 0$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ знак дроби определяется выражением
$$\frac{x-4}{x+1}\ge 0$$
Критические точки: $$x=-1,\;4.$$
По знакам на промежутках:
$$x\in(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)$$

Ответ

а) $$[-3;2]\cup(8;+\infty)$$;
б) $$(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)$$.