Упр.303 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^3-2x^2-9x+18)/(x-4) > 0; б) (x^3-x^2+6x-6)/(x^2-16) < 0; в) (x^4-10x^2+9)/(2x-6) > 0; г) (x^4-3x^2-4)/x < 0; д) (x^3-2x+1)/(x+8)?0; е) (x^3-5x^2+8x-4)/(x-3)?0.

1. а)

   $$\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x-4}>0$$
   $$x^3-2x^2-9x+18=x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3)$$
   Тогда
   $$\frac{(x+3)(x-2)(x-3)}{x-4}>0.$$
   Критические точки: $$x=-3,\;2,\;3,\;4.$$
   Знак дроби положителен на промежутках
   $$(-\infty;-3),\ (2;3),\ (4;+\infty).$$

   Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(2;3)\cup(4;+\infty).$$

2. б)

   $$\frac{x^3-x^2+6x-6}{x^2-16}<0$$ $$x^3-x^2+6x-6=x^2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2+6)$$ $$x^2-16=(x-4)(x+4).$$ Получаем $$\frac{(x-1)(x^2+6)}{(x-4)(x+4)}<0.$$ Так как $$x^2+6>0$$ при всех $$x,$$ достаточно рассмотреть
   $$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)}<0.$$ Критические точки: $$x=-4,\;1,\;4.$$ Знак дроби отрицателен на промежутках $$(-\infty;-4)\cup(1;4).$$

   Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(1;4).$$

3. в)

   $$\frac{x^4-10x^2+9}{2x-6}>0$$
   $$x^4-10x^2+9=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3),$$
   $$2x-6=2(x-3).$$
   Тогда
   $$\frac{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}{2(x-3)}>0,$$
   $$\frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{2}>0,\quad x\ne 3.$$
   Так как $$2>0,$$ решаем неравенство
   $$ (x-1)(x+1)(x+3)>0,\quad x\ne 3.$$
   Критические точки: $$x=-3,\,-1,\,1,\,3.$$
   Получаем
   $$(-3;-1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty).$$

   Ответ: $$(-3;-1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty).$$

4. г)

   $$\frac{x^4-3x^2-4}{x}<0$$ $$x^4-3x^2-4=(x^2+1)(x^2-4)=(x^2+1)(x-2)(x+2).$$ Тогда $$\frac{(x^2+1)(x-2)(x+2)}{x}<0.$$ Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ достаточно рассмотреть
   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x}<0.$$ Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$ Знак дроби отрицателен на промежутках $$(-\infty;-2)\cup(0;2).$$

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(0;2).$$

5. д)

   $$\frac{x^3-2x+1}{x+8}\ge 0$$
   $$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1).$$
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$D=1+4=5,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{\left(x-\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)(x-1)}{x+8}\ge 0.$$
   Критические точки:
   $$x=-8,\ \frac{-1-\sqrt5}{2},\ \frac{-1+\sqrt5}{2},\ 1.$$
   Знак неравенства выполняется на промежутках
   $$(-\infty;-8)\cup\left[\frac{-1-\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right]\cup[1;+\infty).$$

   Ответ: $$(-\infty;-8)\cup\left[\frac{-1-\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right]\cup[1;+\infty).$$

6. е)

   $$\frac{x^3-5x^2+8x-4}{x-3}\le 0$$
   $$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x^2-4x+4)=(x-1)(x-2)^2.$$
   Тогда
   $$\frac{(x-1)(x-2)^2}{x-3}\le 0.$$
   Так как $$ (x-2)^2\ge 0,$$ знак дроби определяется множителем $$\frac{x-1}{x-3},$$
   при этом точка $$x=2$$ даёт нуль числителя и входит в ответ.
   Критические точки: $$x=1,\;2,\;3.$$
   Получаем
   $$[1;3).$$

   Ответ: $$[1;3).$$