Упр.301 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) (x+5)/(2x+6) > 0; в) (3-2x)(5+3x)/(3x-6) < 0; б) (6-x)(2x-9)/(x+5) > 0; г) (7x+1)(11x+2)/(13x-4) > 0.
а) $$\frac{x+5}{2x+6}>0$$
Разложим знаменатель:
$$\frac{x+5}{2(x+3)}>0$$
Так как множитель $$2>0$$, получаем:
$$\frac{x+5}{x+3}>0$$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>-3$$
С учётом ОДЗ $$x\neq -3$$ и строгого неравенства $$x\neq -5$$.
б) $$\frac{(6-x)(2x-9)}{x+5}>0$$
Преобразуем множитель $$6-x=-(x-6)$$:
$$-\frac{(x-6)(2x-9)}{x+5}>0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:
$$\frac{(x-6)(2x-9)}{x+5}<0$$
Критические точки: $$x=-5,\; x=\frac92,\; x=6$$.
По знакам на промежутках получаем:
$$x<-5 \quad \text{или} \quad \frac92<x<6$$
в) $$\frac{(3-2x)(5+3x)}{3x-6}<0$$
Преобразуем множители:
$$3-2x=-(2x-3), \qquad 5+3x=3x+5, \qquad 3x-6=3(x-2)$$
Тогда
$$-\frac{(2x-3)(3x+5)}{3(x-2)}<0$$
Умножим на $$-1$$ и сократим на $$3>0$$:
$$\frac{(2x-3)(3x+5)}{x-2}>0$$
Критические точки: $$x=-\frac53,\; x=\frac32,\; x=2$$.
По знакам на промежутках:
$$-\frac53<x<\frac32 \quad \text{или} \quad x>2$$
г) $$\frac{(7x+1)(11x+2)}{13x-4}>0$$
Критические точки:
$$7x+1=0 \Rightarrow x=-\frac17,\qquad 11x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{11},\qquad 13x-4=0 \Rightarrow x=\frac4{13}$$
Располагаем их по возрастанию:
$$-\frac17<-\frac{2}{11}<\frac4{13}$$
По знакам на промежутках получаем:
$$-\frac17<x<-\frac{2}{11} \quad \text{или} \quad x>\frac4{13}$$
Ответ
а) $$(-\infty;\,-5)\cup(-3;\,+\infty)$$
б) $$(-\infty;\,-5)\cup\left(\frac92;\,6\right)$$
в) $$\left(-\frac53;\,\frac32\right)\cup(2;\,+\infty)$$
г) $$\left(-\frac17;\,-\frac{2}{11}\right)\cup\left(\frac4{13};\,+\infty\right)$$
