Упр.294 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите множество решений неравенства:
а) $$|x^2+3x-4|<|3x|$$; в) $$|x^2-3x+2|<|3x-2|$$; б) $$|x^2-2x+1|<|x-3|$$; г) $$|x^2-x|>|x-1|$$.
При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:
а) $$\frac{\sqrt{(x+4)(3-x)}}{x^2-25}$$;
б) $$\frac{\sqrt{(x^2-6x)(x^2+2)}}{x^2+x}$$?

Подробный ответ

а) Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля:

$$(x+4)(3-x)\ge 0,$$
$$x^2-25\ne 0.$$
Решим первое неравенство:
$$(x+4)(3-x)\ge 0$$
$$(x+4)(x-3)\le 0$$
$$-4\le x\le 3.$$
Из второго условия:
$$x^2-25\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 5.$$
Числа $$-5$$ и $$5$$ не входят в промежуток $$[-4;3]$$, значит, область определения:
$$[-4;3].$$

б) Аналогично, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

$$(x^2-6x)(x^2+2)\ge 0,$$
$$x^2+x\ne 0.$$
Так как
$$x^2+2>0$$
при любых $$x$$, то достаточно решить:
$$x^2-6x\ge 0$$
$$x(x-6)\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 6.$$
Теперь учтём знаменатель:
$$x^2+x\ne 0$$
$$x(x+1)\ne 0$$
$$x\ne 0,\quad x\ne -1.$$
Исключаем эти значения из найденного множества:
$$(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup[6;+\infty).$$