Упр.291 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^2+x)(49-x^2) < 0; д) (x^3-3x^2)(x^2+7)?0; б) (x^4-1)(x^2+11) > 0; е) (x^2-6x+5)(x+8) > 0;
в) (x^2-7)(x^2+18) < 0; ж) (x^2-x+11)(4-x)?0; г) (x^2-11)(15-x^2)?0; з) (x^2-9)(x^2+2x+14) > 0.

1. а) $$\left(x^2+x\right)\left(49-x^2\right)<0$$

   $$x(x+1)(7-x)(7+x)<0$$

   $$x(x+1)(x-7)(x+7)>0$$

   Нули: $$x=-7,\,-1,\,0,\,7.$$

   Знак произведения положителен на промежутках $$(-\infty;-7),\;(-1;0),\;(7;+\infty).$$

2. б) $$\left(x^4-1\right)\left(x^2+11\right)>0$$

   $$\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^2+11\right)>0$$

   Так как $$x^2+1>0$$ и $$x^2+11>0$$ при любых $$x,$$ получаем

   $$x^2-1>0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0.$$

   Отсюда $$x<-1$$ или $$x>1.$$

3. в) $$\left(x^2-7\right)\left(x^2+18\right)<0$$

   Так как $$x^2+18>0$$ при любых $$x,$$ имеем

   $$x^2-7<0$$

   $$-\sqrt7<x<\sqrt7.$$

4. г) $$\left(x^2-11\right)\left(15-x^2\right)\ge 0$$

   $$\left(x-\sqrt{11}\right)\left(x+\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{15}-x\right)\left(\sqrt{15}+x\right)\ge 0$$

   Нули: $$x=\pm\sqrt{11},\ \pm\sqrt{15}.$$

   С учётом знаков множителей получаем

   $$x\in\left[-\sqrt{15};-\sqrt{11}\right]\cup\left[\sqrt{11};\sqrt{15}\right].$$

5. д) $$\left(x^3-3x^2\right)\left(x^2+7\right)\le 0$$

   $$x^2(x-3)\left(x^2+7\right)\le 0$$

   Так как $$x^2\ge 0$$ и $$x^2+7>0,$$ то неравенство равносильно

   $$x-3\le 0.$$

   Следовательно, $$x\le 3.$$

6. е) $$\left(x^2-6x+5\right)\left(x+8\right)>0$$

   $$x^2-6x+5=\left(x-1\right)\left(x-5\right),$$ поэтому

   $$\left(x+8\right)\left(x-1\right)\left(x-5\right)>0.$$

   Нули: $$x=-8,\ 1,\ 5.$$

   Знак произведения положителен на промежутках $$(-8;1)$$ и $$ (5;+\infty).$$

7. ж) $$\left(x^2-x+11\right)\left(4-x\right)\ge 0$$

   Для квадратного трёхчлена

   $$D=1-4\cdot 11=-43<0,$$

   значит $$x^2-x+11>0$$ при любых $$x.$$ Тогда

   $$4-x\ge 0,$$

   откуда $$x\le 4.$$

8. з) $$\left(x^2-9\right)\left(x^2+2x+14\right)>0$$

   $$x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right).$$

   Для второго множителя

   $$D=2^2-4\cdot 14=-52<0,$$

   поэтому $$x^2+2x+14>0$$ при любых $$x.$$

   Тогда нужно решить

   $$x^2-9>0,$$

   то есть $$x<-3$$ или $$x>3.$$

Ответ

а) $$(-\infty;-7)\cup(-1;0)\cup(7;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$;

в) $$(-\sqrt7;\sqrt7)$$;

г) $$[-\sqrt{15};-\sqrt{11}]\cup[\sqrt{11};\sqrt{15}]$$;

д) $$(-\infty;3]$$;

е) $$(-8;1)\cup(5;+\infty)$$;

ж) $$(-\infty;4]$$;

з) $$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$.