Упр.290 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите аналитически и графически неравенство:
   а) $$|x^2-1|<3$$;
   б) $$|x^2-4|>5$$.
2. При каких значениях $$a$$ множеством решений неравенства:
   а) $$(x-a)^2(x-4)(x+6)<0$$ является числовой промежуток $$(-6;4)$$;
   б) $$(x+a)^2(x-7)(x+5)>0$$ является объединение числовых промежутков $$(-?;-5)$$ и $$(7;+?)$$?

а) Рассмотрим неравенство

$$(x-a)^2(x-4)(x+6)<0.$$

Так как $$(x-a)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, знак произведения определяется множителем $$(x-4)(x+6)$$, а точка $$x=a$$ не должна попадать в множество решений, иначе произведение обращается в нуль.

Чтобы множеством решений был промежуток $$(-6;4)$$, нужно, чтобы неравенство $$(x-4)(x+6)<0$$ давало именно этот промежуток, а точка $$x=a$$ не лежала внутри него. Тогда

$$a\le -6 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$

Значит,

$$a\in(-\infty;-6]\cup[4;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$(x+a)^2(x-7)(x+5)>0.$$

Так как $$(x+a)^2 \ge 0$$, знак произведения определяется множителем $$(x-7)(x+5)$$, а точка $$x=-a$$ не должна попадать в множество решений.

Чтобы множеством решений было объединение промежутков $$(-\infty;-5)$$ и $$(7;+\infty)$$, нужно, чтобы

$$(x-7)(x+5)>0,$$

то есть $$x<-5$$ или $$x>7$$, и при этом $$x=-a$$ не лежало в этих промежутках. Следовательно,

$$-7\le a\le 5.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;-6]\cup[4;+\infty)$$;

б) $$a\in[-7;5]$$.