Упр.290 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x-a)^2(x-4)(x+6) < 0 является числовой промежуток (—6; 4); б) (x+a)^2(x-7)(x+5) > 0 является объединение числовых промежутков (-?; -5) и (7; +?)?

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство

$$ (x-a)^2(x-4)(x+6)<0. $$

Так как $$ (x-a)^2 \ge 0 $$ при любых $$x$$, знак произведения определяется множителем $$ (x-4)(x+6) $$, а точка $$x=a$$ не должна попадать в множество решений, иначе произведение обращается в нуль.

Чтобы множеством решений был промежуток $$(-6;4)$$, нужно, чтобы неравенство $$ (x-4)(x+6)<0 $$ давало именно этот промежуток, а точка $$x=a$$ не лежала внутри него. Тогда

$$ a\le -6 \quad \text{или} \quad a\ge 4. $$

Значит,

$$ a\in(-\infty;-6]\cup[4;+\infty). $$

б) Рассмотрим неравенство

$$ (x+a)^2(x-7)(x+5)>0. $$

Так как $$ (x+a)^2 \ge 0 $$, знак произведения определяется множителем $$ (x-7)(x+5) $$, а точка $$x=-a$$ не должна попадать в множество решений.

Чтобы множеством решений было объединение промежутков $$(-\infty;-5)$$ и $$ (7;+\infty) $$, нужно, чтобы

$$ (x-7)(x+5)>0, $$

то есть $$x<-5$$ или $$x>7$$, и при этом $$x=-a$$ не лежало в этих промежутках. Следовательно,

$$ -7\le a\le 5. $$