Упр.29 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 29. Решите систему уравнений {v(x-y)+(x-y)^3=2, x^2-6y+1=0}.

Обозначим $$t=x-y.$$ Тогда первое уравнение системы принимает вид

$$\sqrt{t}+t^3=2.$$

Рассмотрим функцию $$f(t)=\sqrt{t}+t^3$$ при $$t\ge 0$$. Она возрастает, значит уравнение $$\sqrt{t}+t^3=2$$ имеет единственный корень. Проверим значение $$t=1$$:

$$\sqrt{1}+1^3=1+1=2.$$

Следовательно, $$t=1$$, то есть

$$x-y=1,\qquad y=x-1.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$x^2-6(x-1)+1=0,$$

$$x^2-6x+7=0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot 7=36-28=8,$$

$$x=\frac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}.$$

Тогда

$$y=x-1=2\pm\sqrt{2}.$$

Получаем две пары решений:

$$\left(3-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}\right),\qquad \left(3+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}\right).$$

Ответ

$$\left(3-\sqrt{2},\,2-\sqrt{2}\right),\ \left(3+\sqrt{2},\,2+\sqrt{2}\right).$$