Упр.286 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) y=x^2-4kx+k(k-1) расположены выше оси х;
б) y=-x^2+6kx+k(k+1) расположены ниже оси х;
в) y=kx^2+2(k+1)x+4k расположены ниже оси х?

Подробный ответ

а) Чтобы все точки графика функции $$y=x^2-4kx+k(k-1)$$ были выше оси $$Ox$$, нужно, чтобы квадратный трёхчлен был положителен при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно потребовать, чтобы дискриминант был отрицателен:

$$D=(-4k)^2-4\cdot 1\cdot k(k-1)<0$$

$$16k^2-4k^2+4k<0$$

$$12k^2+4k<0$$

$$4k(3k+1)<0$$

Отсюда

$$-\frac13<k<0$$

б) Чтобы все точки графика функции $$y=-x^2+6kx+k(k+1)$$ были ниже оси $$Ox$$, нужно, чтобы выражение было отрицательным при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$-1<0$$, достаточно, чтобы дискриминант был отрицателен:

$$D=(6k)^2-4\cdot(-1)\cdot k(k+1)<0$$

$$36k^2+4k^2+4k<0$$

$$40k^2+4k<0$$

$$4k(10k+1)<0$$

Отсюда

$$-\frac{1}{10}<k<0$$

в) Для функции $$y=kx^2+2(k+1)x+4k$$ все точки должны быть ниже оси $$Ox$$, то есть

$$kx^2+2(k+1)x+4k<0$$

Рассмотрим случай, когда парабола направлена вниз: $$k<0$$. Тогда для отрицательности при всех $$x$$ нужно, чтобы дискриминант был отрицателен:

$$D=[2(k+1)]^2-4\cdot k\cdot 4k<0$$

$$4(k+1)^2-16k^2<0$$

$$4k^2+8k+4-16k^2<0$$