Упр.286 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Решите неравенство: а) $$|x-7|<4$$; б) $$|x+5|>6{,}8$$; в) $$|1-x|<23$$; г) $$|3-x|>14$$.
- Задание учебника 2023 года. При каких значениях $$k$$ все точки графика функции: а) $$y=x^2-4kx+k(k-1)$$ расположены выше оси х; б) $$y=-x^2+6kx+k(k+1)$$ расположены ниже оси х; в) $$y=kx^2+2(k+1)x+4k$$ расположены ниже оси х?
а) Чтобы все точки графика функции $$y=x^2-4kx+k(k-1)$$ были выше оси $$Ox$$, нужно, чтобы квадратный трёхчлен был положителен при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно потребовать, чтобы дискриминант был отрицателен:
$$D=(-4k)^2-4\cdot 1\cdot k(k-1)<0$$
$$16k^2-4k^2+4k<0$$
$$12k^2+4k<0$$
$$4k(3k+1)<0$$
Отсюда
$$-\frac13<k<0$$
б) Чтобы все точки графика функции $$y=-x^2+6kx+k(k+1)$$ были ниже оси $$Ox$$, нужно, чтобы выражение было отрицательным при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$-1<0$$, достаточно, чтобы дискриминант был отрицателен:
$$D=(6k)^2-4\cdot(-1)\cdot k(k+1)<0$$
$$36k^2+4k^2+4k<0$$
$$40k^2+4k<0$$
$$4k(10k+1)<0$$
Отсюда
$$-\frac{1}{10}<k<0$$
в) Для функции $$y=kx^2+2(k+1)x+4k$$ все точки должны быть ниже оси $$Ox$$, то есть
$$kx^2+2(k+1)x+4k<0$$
Рассмотрим случай, когда парабола направлена вниз: $$k<0$$. Тогда для отрицательности при всех $$x$$ нужно, чтобы дискриминант был отрицателен:
$$D=[2(k+1)]^2-4\cdot k\cdot 4k<0$$
$$4(k+1)^2-16k^2<0$$
$$4k^2+8k+4-16k^2<0$$
$$12k^2-8k-4>0$$
$$3k^2-2k-1>0$$
$$(3k+1)(k-1)>0$$
Отсюда
$$k<-\frac13 \quad \text{или} \quad k>1$$
С учётом условия $$k<0$$ получаем
$$k<-\frac13$$
Ответ
а) $$\left(-\frac13;0\right)$$; б) $$\left(-\frac{1}{10};0\right)$$; в) $$\left(-\infty;-\frac13\right)$$.
