Упр.285 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 285. При каких значениях p множеством решении неравенства px^2-2(p-1)x+2p < 0 является пустое множество?

Чтобы неравенство

$$px^2-2(p-1)x+2p<0$$

не имело решений, квадратный трехчлен должен быть неотрицателен при всех $x$.

Рассмотрим его дискриминант:

$$D=[-2(p-1)]^2-4\cdot p\cdot 2p$$

$$D=4(p-1)^2-8p^2$$

$$D=4p^2-8p+4-8p^2=-4p^2-8p+4$$

Для отсутствия решений нужно, чтобы при $p>0$ выполнялось

$$D\le 0,$$

а при $p=0$ неравенство превращается в линейное:

$$2x<0,$$

которое имеет решения, значит $p=0$ не подходит.

Решим неравенство для дискриминанта:

$$-4p^2-8p+4\le 0$$

$$p^2+2p-1\ge 0$$

Найдём корни уравнения

$$p^2+2p-1=0$$

$$p=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt2$$

Тогда

$$p\le -1-\sqrt2 \quad \text{или} \quad p\ge -1+\sqrt2.$$

С учётом условия $p>0$ получаем

$$p\ge \sqrt2-1.$$

При $p=\sqrt2-1$ дискриминант равен нулю, и квадратный трехчлен неотрицателен при всех $x$, значит решений неравенство не имеет.

Ответ

$$[\sqrt2-1;\,+\infty)$$