Упр.284 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) bx^2-8x+b < 0; б) bx^2-3x+b > 0?

Подробный ответ

Чтобы квадратное неравенство было верно при любых $$x$$, соответствующий квадратный трёхчлен должен быть строго отрицательным (или строго положительным) при всех $$x$$. Для этого его дискриминант должен быть отрицательным, а старший коэффициент — иметь нужный знак.

$$bx^2-8x+b<0$$
Рассмотрим как квадратный трёхчлен относительно $$x$$. Тогда
$$D=(-8)^2-4\cdot b\cdot b=64-4b^2<0.$$
Отсюда
$$4b^2>64,$$
$$b^2>16,$$
$$b<-4 \text{ или } b>4.$$
Но при $$b>4$$ старший коэффициент положителен, значит при больших $$x$$ выражение будет положительным, что невозможно. При $$b=0$$ получаем линейное выражение $$-8x<0$$, которое не верно при всех $$x$$. Поэтому остаётся
$$b<-4.$$
$$bx^2-3x+b>0$$
Аналогично, для выполнения неравенства при любых $$x$$ нужно, чтобы
$$D=(-3)^2-4\cdot b\cdot b=9-4b^2<0.$$
Тогда
$$4b^2>9,$$
$$b^2>\frac{9}{4},$$
$$b<-\frac{3}{2} \text{ или } b>\frac{3}{2}.$$
Так как неравенство должно быть строго положительным при всех $$x$$, старший коэффициент должен быть положительным, значит
$$b>\frac{3}{2}.$$