Упр.283 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^2+(2m-3)x+m^2-m+4 > 0; б) x^2+(2m-6)x+2m^2-m+3 > 0?

Квадратное неравенство $$x^2+bx+c>0$$ верно при любом $$x$$, если его ветви направлены вверх и дискриминант отрицателен: $$D<0$$.

а)

$$x^2+(2m-3)x+m^2-m+4>0$$

Найдём дискриминант:
$$ D=(2m-3)^2-4(m^2-m+4) $$
$$ D=4m^2-12m+9-4m^2+4m-16 $$
$$ D=-8m-7 $$

Требуем:
$$ -8m-7<0 $$
$$ m>-\frac{7}{8} $$

б)

$$x^2+(2m-6)x+2m^2-m+3>0$$

Найдём дискриминант:
$$ D=(2m-6)^2-4(2m^2-m+3) $$
$$ D=4m^2-24m+36-8m^2+4m-12 $$
$$ D=-4m^2-20m+24 $$

Требуем:
$$ -4m^2-20m+24<0 $$
$$ m^2+5m-6>0 $$
$$ (m+6)(m-1)>0 $$
Отсюда:
$$ m<-6 \quad \text{или} \quad m>1 $$

Ответ

а) $$m\in\left(-\frac{7}{8};+\infty\right)$$;
б) $$m\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty)$$.