Упр.276 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$x^2+2x+|x+1|=0$$;
б) $$x^2-2x+2\cdot|x-1|+1=0$$;
в) $$4x(x-1)+|2x-1|=1$$. - При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:
а) $$\frac{\sqrt{2x^2+5x-3}}{6}$$;
б) $$\frac{\sqrt{x^2+4x-12}}{x}$$;
в) $$\frac{\sqrt{4x^2-4x-3}}{x-2}$$;
г) $$\frac{\sqrt{2x^2-x+8}}{x^2-16}$$?
а) Для существования выражения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$2x^2+5x-3\ge 0.$$
Найдём корни уравнения $$2x^2+5x-3=0$$:
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4},\quad x_1=-3,\quad x_2=\frac12.$$
Тогда
$$2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$
б) Нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:
$$x^2+4x-12\ge 0,\qquad x\ne 0.$$
Решим неравенство:
$$x^2+4x-12=0,$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2},\quad x_1=-6,\quad x_2=2.$$
Тогда
$$x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\ge 0,$$
значит,
$$x\le -6 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Условие $$x\ne 0$$ здесь ничего не меняет.
в) Требуется:
$$4x^2-4x-3\ge 0,\qquad x\ne 2.$$
Найдём корни уравнения $$4x^2-4x-3=0$$:
$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{8},\quad x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac32.$$
Тогда
$$4x^2-4x-3=(2x+1)(2x-3)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -\frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$
Исключаем точку $$x=2$$.
г) Нужно, чтобы
$$2x^2-x+8\ge 0,\qquad x^2-16\ne 0.$$
Проверим квадратный трёхчлен:
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 8=1-64=-63<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$2x^2-x+8>0$$
при всех $$x\in \mathbb{R}.$$
Остаётся условие знаменателя:
$$x^2-16\ne 0,\qquad x\ne \pm 4.$$
Ответ
а) $$(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right);$$ б) $$(-\infty;-6]\cup[2;+\infty);$$ в) $$(-\infty;-\frac12]\cup\left[\frac32;2\right)\cup(2;+\infty);$$ г) $$(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty).$$
