Упр.276 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(2x^2+5x-3)/6; б) v(x^2+4x-12)/x;
в) v(4x^2-4x-3)/(x-2); г) v(2x^2-x+8)/(x^2-16)?

1. а) Для существования выражения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$2x^2+5x-3\ge 0.$$

   Найдём корни уравнения $$2x^2+5x-3=0$$:

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4},\quad x_1=-3,\quad x_2=\frac12.$$

   Тогда

   $$2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$

2. б) Нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

   $$x^2+4x-12\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

   Решим неравенство:

   $$x^2+4x-12=0,$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2},\quad x_1=-6,\quad x_2=2.$$

   Тогда

   $$x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\ge 0,$$

   значит,

   $$x\le -6 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

   Условие $$x\ne 0$$ здесь ничего не меняет.

3. в) Требуется:

   $$4x^2-4x-3\ge 0,\qquad x\ne 2.$$

   Найдём корни уравнения $$4x^2-4x-3=0$$:

   $$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64,$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{8},\quad x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac32.$$

   Тогда

   $$4x^2-4x-3=(2x+1)(2x-3)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le -\frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32.$$

   Исключаем точку $$x=2$$.

4. г) Нужно, чтобы

   $$2x^2-x+8\ge 0,\qquad x^2-16\ne 0.$$

   Проверим квадратный трёхчлен:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 8=1-64=-63<0.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$2x^2-x+8>0$$

   при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

   Остаётся условие знаменателя:

   $$x^2-16\ne 0,\qquad x\ne \pm 4.$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right);$$ б) $$(-\infty;-6]\cup[2;+\infty);$$ в) $$(-\infty;-\frac12]\cup\left[\frac32;2\right)\cup(2;+\infty);$$ г) $$(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty).$$