Упр.272 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения:
   а) $$|x^2+3x-4|=3x$$;
   б) $$|x^2-4x+4|=x$$;
   в) $$6x=|x^2+8x-8|$$;
   г) $$|2x^2+5x-10|=5-2x$$;
   д) $$|x^2-x+3|=x+2$$;
   е) $$x-1=|6x^2+2x-2|$$.
2. При каких значениях $$a$$ каждое решение неравенства:
   а) $$2x^2-x-3<0$$ является решением неравенства $$3x-2a>0$$;
   б) $$x^2-2{,}5x-6<0$$ является решением неравенства $$5a-2x>0$$?

а) Решим неравенство

$$2x^2-x-3<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}.$$

Отсюда

$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac32.$$

Тогда

$$2x^2-x-3=(x+1)(2x-3),$$

и неравенство принимает вид

$$-1<x<\frac32.$$

Теперь требуем, чтобы каждое решение этого неравенства удовлетворяло неравенству

$$3x-2a>0,$$

то есть

$$x>\frac{2a}{3}.$$

Чтобы все числа из промежутка $$\left(-1;\frac32\right)$$ удовлетворяли этому условию, нужно, чтобы

$$\frac{2a}{3}\le -1.$$

Тогда

$$a\le -\frac32.$$

б) Решим неравенство

$$x^2-2{,}5x-6<0.$$

Найдём корни:

$$D=(2{,}5)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=6{,}25+24=30{,}25,$$

$$x_{1,2}=\frac{2{,}5\pm 5{,}5}{2}.$$

Получаем

$$x_1=-1{,}5,\qquad x_2=4.$$

Следовательно,

$$-1{,}5<x<4.$$

Теперь требуем, чтобы каждое решение этого неравенства удовлетворяло неравенству

$$5a-2x>0,$$

то есть

$$x<\frac{5a}{2}.$$

Чтобы все числа из промежутка $$(-1{,}5;4)$$ удовлетворяли этому условию, нужно, чтобы

$$\frac{5a}{2}\ge 4.$$

Тогда

$$a\ge \frac85=1{,}6.$$

Ответ

а) $$(-\infty;\,-1{,}5]$$; б) $$[1{,}6;\,+\infty)$$.