Упр.270 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) y=sgn(x^2+3x-4); б) y=sgn(4x^2+3x-1).
Используем определение функции знака:
$$ \operatorname{sgn}(t)= \begin{cases} 1, & t>0,\\ 0, & t=0,\\ -1, & t<0. \end{cases} $$
$$y=\operatorname{sgn}(x^2+3x-4)$$
Найдём, где выражение под знаком sgn положительно, равно нулю и отрицательно:
$$x^2+3x-4=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1$$Тогда
$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$ x^2+3x-4>0 \quad \text{при} \quad x<-4 \ \text{или}\ x>1, $$
$$ x^2+3x-4=0 \quad \text{при} \quad x=-4,\ 1, $$
$$ x^2+3x-4<0 \quad \text{при} \quad -4<x<1. $$Следовательно, график функции состоит из трёх горизонтальных участков:
$$ y= \begin{cases} 1, & x<-4 \ \text{или}\ x>1,\\ 0, & x=-4 \ \text{или}\ x=1,\\ -1, & -4<x<1. \end{cases} $$
$$y=\operatorname{sgn}(4x^2+3x-1)$$
Решим уравнение:
$$4x^2+3x-1=0$$
$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{8}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac14$$Разложим на множители:
$$4x^2+3x-1=(x+1)(4x-1)$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$ 4x^2+3x-1>0 \quad \text{при} \quad x<-1 \ \text{или}\ x>\frac14, $$
$$ 4x^2+3x-1=0 \quad \text{при} \quad x=-1,\ \frac14, $$
$$ 4x^2+3x-1<0 \quad \text{при} \quad -1<x<\frac14. $$Значит,
$$ y= \begin{cases} 1, & x<-1 \ \text{или}\ x>\frac14,\\ 0, & x=-1 \ \text{или}\ x=\frac14,\\ -1, & -1<x<\frac14. \end{cases} $$
Ответ
а) $$y=1$$ при $$x<-4$$ или $$x>1$$, $$y=0$$ при $$x=-4,\,1$$, $$y=-1$$ при $$-4<x<1$$.
б) $$y=1$$ при $$x<-1$$ или $$x>\frac14$$, $$y=0$$ при $$x=-1,\,\frac14$$, $$y=-1$$ при $$-1<x<\frac14$$.
