Упр.270 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения: а) $$\left|\left|2x-1\right|-1\right|=0$$; в) $$\left|\left|x+6\right|-6\right|=6$$; б) $$\left|\left|x+1\right|+3\right|=5$$; г) $$\left|7-\left|3x-1\right|\right|=2$$.
2. Постройте график функции: а) $$y=\operatorname{sgn}(x^2+3x-4)$$; б) $$y=\operatorname{sgn}(4x^2+3x-1)$$.

Используем определение функции знака:

$$\operatorname{sgn}(t)= \begin{cases} 1, & t>0,\\ 0, & t=0,\\ -1, & t<0. \end{cases}$$

1. $$y=\operatorname{sgn}(x^2+3x-4)$$

   Найдём, где выражение под знаком sgn положительно, равно нулю и отрицательно:

   $$x^2+3x-4=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}$$
   $$x_1=-4,\quad x_2=1$$

   Тогда

   $$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

   $$x^2+3x-4>0 \quad \text{при} \quad x<-4 \ \text{или}\ x>1,$$
   $$x^2+3x-4=0 \quad \text{при} \quad x=-4,\ 1,$$
   $$x^2+3x-4<0 \quad \text{при} \quad -4<x<1.$$

   Следовательно, график функции состоит из трёх горизонтальных участков:

   $$y= \begin{cases} 1, & x<-4 \ \text{или}\ x>1,\\ 0, & x=-4 \ \text{или}\ x=1,\\ -1, & -4<x<1. \end{cases}$$

2. $$y=\operatorname{sgn}(4x^2+3x-1)$$

   Решим уравнение:

   $$4x^2+3x-1=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{8}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac14$$

   Разложим на множители:

   $$4x^2+3x-1=(x+1)(4x-1)$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

   $$4x^2+3x-1>0 \quad \text{при} \quad x<-1 \ \text{или}\ x>\frac14,$$
   $$4x^2+3x-1=0 \quad \text{при} \quad x=-1,\ \frac14,$$
   $$4x^2+3x-1<0 \quad \text{при} \quad -1<x<\frac14.$$

   Значит,

   $$y= \begin{cases} 1, & x<-1 \ \text{или}\ x>\frac14,\\ 0, & x=-1 \ \text{или}\ x=\frac14,\\ -1, & -1<x<\frac14. \end{cases}$$

Ответ

а) $$y=1$$ при $$x<-4$$ или $$x>1$$, $$y=0$$ при $$x=-4,\,1$$, $$y=-1$$ при $$-4<x<1$$.

б) $$y=1$$ при $$x<-1$$ или $$x>\frac14$$, $$y=0$$ при $$x=-1,\,\frac14$$, $$y=-1$$ при $$-1<x<\frac14$$.