Упр.268 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) x^2-11x+24 < 0; д) -9x^2+12x-4 > 0;
б) 2x^2+11x-6 > 0; е) 0,1x^2+x-2,4?0;
в) -7x^2-6x+1?0; ж) 3x^2-x+5 > 0;
г) 2,5x^2+x+0,1 > 0; з) -2x^2-4x-6?0.
а) $$x^2-11x+24<0$$
$$D=11^2-4\cdot 24=121-96=25$$
$$x_1=\frac{11-5}{2}=3,\quad x_2=\frac{11+5}{2}=8$$
$$x^2-11x+24=(x-3)(x-8)$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется между корнями:
$$3<x<8$$
б) $$2x^2+11x-6>0$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot(-6)=121+48=169$$
$$x_1=\frac{-11-13}{4}=-6,\quad x_2=\frac{-11+13}{4}=\frac12$$
$$2x^2+11x-6=(x+6)(2x-1)$$
Произведение положительно вне промежутка между корнями:
$$x<-6,\quad x>\frac12$$
в) $$-7x^2-6x+1\ge 0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:
$$7x^2+6x-1\le 0$$
$$D=6^2-4\cdot 7\cdot(-1)=36+28=64$$
$$x_1=\frac{-6-8}{14}=-1,\quad x_2=\frac{-6+8}{14}=\frac17$$
Тогда
$$-1\le x\le \frac17$$
г) $$2{,}5x^2+x+0{,}1>0$$
Умножим на $$10$$:
$$25x^2+10x+1>0$$
$$25x^2+10x+1=(5x+1)^2$$
Квадрат числа положителен при всех $$x$$, кроме случая, когда он равен нулю:
$$5x+1\ne 0,\quad x\ne -\frac15$$
д) $$-9x^2+12x-4>0$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак:
$$9x^2-12x+4<0$$
$$9x^2-12x+4=(3x-2)^2$$
Но квадрат числа не может быть меньше нуля, значит решений нет.
е) $$0{,}1x^2+x-2{,}4\le 0$$
Умножим на $$10$$:
$$x^2+10x-24\le 0$$
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100+96=196$$
$$x_1=\frac{-10-14}{2}=-12,\quad x_2=\frac{-10+14}{2}=2$$
Тогда
$$-12\le x\le 2$$
ж) $$3x^2-x+5>0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 5=1-60=-59$$
Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положителен, квадратный трёхчлен всегда положителен.
Следовательно, $$x\in \mathbb{R}$$.
з) $$-2x^2-4x-6\ge 0$$
Умножим на $$-1$$, изменив знак:
$$2x^2+4x+6\le 0$$
$$D=4^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32$$
Так как $$D<0$$ и старший коэффициент положителен, выражение всегда положительно, значит неравенство не имеет решений.
Ответ
а) $$\left(3;8\right)$$; б) $$(-\infty;-6)\cup\left(\frac12;+\infty\right)$$; в) $$\left[-1;\frac17\right]$$; г) $$(-\infty;-\frac15)\cup\left(-\frac15;+\infty\right)$$; д) решений нет; е) $$[-12;2]$$; ж) $$\mathbb{R}$$; з) решений нет.
