Упр.267 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 267. Изобразите схематически график функции y=(x-4)/(x+3). Какова область определения функции? Укажите промежутки возрастания и убывания функции, если они существуют.

Подробный ответ

Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{x-4}{x+3}=\frac{x+3-7}{x+3}=1-\frac{7}{x+3}. $$

Это график гиперболы, полученный из графика $$y=\frac{1}{x}$$ сдвигом: на $$3$$ единицы влево, растяжением в $$7$$ раз и переносом на $$1$$ единицу вверх.

Найдём область определения. Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$ x+3\ne 0,\quad x\ne -3. $$

Значит,

$$ D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty). $$

Для исследования монотонности найдём производную:

$$ y=1-\frac{7}{x+3},\qquad y’=\frac{7}{(x+3)^2}. $$

Так как $$\frac{7}{(x+3)^2}>0$$ при всех $$x\ne -3$$, функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3)$$ и на $$(-3;+\infty)$$, промежутков убывания нет.

Для схематического построения отметим асимптоты:

$$ x=-3,\qquad y=1. $$

Также можно найти несколько точек графика:

$$ x=4 \Rightarrow y=0,\qquad x=0 \Rightarrow y=-\frac{4}{3}. $$