Упр.260 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x^3+1/x^3=8 1/9(x+1/x); б) x^3-1/x^3=5 1/4(x-1/x); в) x^3-1/x^3=7(x-1/x).

а) Пусть $$t=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right)=t\left(t^2-3\right).$$

По условию

$$t\left(t^2-3\right)=8\frac{1}{9}\,t=\frac{73}{9}t.$$

Получаем

$$t^3-3t=\frac{73}{9}t,$$
$$9t^3-100t=0,$$
$$t(9t^2-100)=0.$$

Отсюда

$$t=0 \quad \text{или} \quad t=\pm \frac{10}{3}.$$

1) Если $$t=0,$$ то

$$x+\frac{1}{x}=0 \;\Rightarrow\; x^2+1=0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$t=\frac{10}{3},$$ то

$$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3} \;\Rightarrow\; 3x^2-10x+3=0,$$
$$x=\frac{10\pm 8}{6},$$
$$x=3 \text{ или } x=\frac{1}{3}.$$

3) Если $$t=-\frac{10}{3},$$ то

$$x+\frac{1}{x}=-\frac{10}{3} \;\Rightarrow\; 3x^2+10x+3=0,$$
$$x=\frac{-10\pm 8}{6},$$
$$x=-3 \text{ или } x=-\frac{1}{3}.$$

С учётом условия $$x<\frac{\sqrt{7}}{5}$$ подходят все найденные корни.

б) Пусть $$t=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+1+\frac{1}{x^2}\right)=t\left(t^2+3\right).$$

По условию

$$t\left(t^2+3\right)=5\frac{1}{4}\,t=\frac{21}{4}t.$$

Тогда

$$t^3+3t=\frac{21}{4}t,$$
$$4t^3-9t=0,$$
$$t(4t^2-9)=0.$$

Отсюда

$$t=0 \quad \text{или} \quad t=\pm \frac{3}{2}.$$

1) Если $$t=0,$$ то

$$x-\frac{1}{x}=0 \;\Rightarrow\; x^2-1=0,$$
$$x=\pm 1.$$

2) Если $$t=\frac{3}{2},$$ то

$$x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2} \;\Rightarrow\; 2x^2-3x-2=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=-\frac{1}{2}.$$

3) Если $$t=-\frac{3}{2},$$ то

$$x-\frac{1}{x}=-\frac{3}{2} \;\Rightarrow\; 2x^2+3x-2=0,$$
$$x=-2 \text{ или } x=\frac{1}{2}.$$

С учётом условия $$x<\frac{\sqrt{7}}{5}$$ подходят все корни, кроме $$1$$.

в) Пусть $$t=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+1+\frac{1}{x^2}\right)=t\left(t^2+3\right).$$

По условию

$$t\left(t^2+3\right)=7t.$$

Следовательно,

$$t^3-4t=0,$$
$$t(t^2-4)=0.$$

Отсюда

$$t=0 \quad \text{или} \quad t=\pm 2.$$

1) Если $$t=0,$$ то

$$x-\frac{1}{x}=0 \;\Rightarrow\; x^2-1=0,$$
$$x=\pm 1.$$

2) Если $$t=2,$$ то

$$x-\frac{1}{x}=2 \;\Rightarrow\; x^2-2x-1=0,$$
$$x=1\pm \sqrt{2}.$$

3) Если $$t=-2,$$ то

$$x-\frac{1}{x}=-2 \;\Rightarrow\; x^2+2x-1=0,$$
$$x=-1\pm \sqrt{2}.$$

С учётом условия $$x<\frac{\sqrt{7}}{5}$$ подходят корни $$-1,\;1-\sqrt{2},\;-1-\sqrt{2}.$$

Ответ

а) $$-3,\;-\frac{1}{3},\;\frac{1}{3},\;3$$; б) $$-2,\;-\frac{1}{2},\;\frac{1}{2},\;2,\;-1,\;1$$; в) $$-1,\;1-\sqrt{2},\;-1-\sqrt{2}$$.