Упр.259 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1/(x^2+1)-1/(x^2+8)=7/8; в) 1/(x(x+3))-1/(x^2+3x+2)=1/60;
б) 1/(p^4+5)-1/(p^4+7)=1/24; г) 1/(x(x-2))-1/(x-1)^2=1/12.

а)

$$\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+8}=\frac{7}{8}$$
$$8(x^2+8)-8(x^2+1)=7(x^2+1)(x^2+8)$$
$$8x^2+64-8x^2-8=7x^4+63x^2+56$$
$$7x^4+63x^2=0$$
$$7x^2(x^2+9)=0$$
$$x^2=0,\quad x=0$$

Проверка ОДЗ: $$x^2+1>0,\; x^2+8>0$$ при любых $$x$$, значит найденное значение подходит.

Ответ: $$0$$.

б)

$$\frac{1}{p^4+5}-\frac{1}{p^4+7}=\frac{1}{24}$$
$$24(p^4+7)-24(p^4+5)=(p^4+5)(p^4+7)$$
$$24p^4+168-24p^4-120=p^8+12p^4+35$$
$$p^8+12p^4-13=0$$

Положим $$t=p^4$$, тогда

$$t^2+12t-13=0$$
$$D=12^2+4\cdot 13=196$$
$$t_{1,2}=\frac{-12\pm 14}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=-13$$

Так как $$p^4\ge 0$$, то $$t=-13$$ не подходит. Получаем:

$$p^4=1$$
$$p=\pm 1$$

Ответ: $$-1;\;1$$.

в)

$$\frac{1}{x(x+3)}-\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{60}$$
$$x^2+3x=x(x+3)$$
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{y+2}=\frac{1}{60},\quad \text{где } y=x^2+3x$$
$$60(y+2)-60y=y(y+2)$$
$$y^2+2y-120=0$$
$$D=2^2+4\cdot 120=484$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 22}{2}$$
$$y_1=-12,\quad y_2=10$$

1) $$x^2+3x=-12$$

$$x^2+3x+12=0$$
$$D=3^2-4\cdot 12=-39<0$$

Решений нет.

2) $$x^2+3x=10$$

$$x^2+3x-10=0$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=2$$

Проверка ОДЗ: $$x\ne 0,\,-3,\,-1,\,-2$$, оба значения подходят.

Ответ: $$-5;\;2$$.

г)

$$\frac{1}{x(x-2)}-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{1}{12}$$
$$x(x-2)=x^2-2x$$
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{12},\quad \text{где } y=x^2-2x$$
$$12(y+1)-12y=y(y+1)$$
$$y^2+y-12=0$$
$$D=1^2+4\cdot 12=49$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$
$$y_1=-4,\quad y_2=3$$

1) $$x^2-2x=-4$$

$$x^2-2x+4=0$$
$$D=2^2-4\cdot 4=-12<0$$

Решений нет.

2) $$x^2-2x=3$$

$$x^2-2x-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Проверка ОДЗ: $$x\ne 0,\;2,\;1$$, оба значения подходят.

Ответ: $$-1;\;3$$.