Упр.257 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 257. Решите уравнение: а) y^4-31/(2y^4-1)=15; б) 12/(y^2-2y+3)-y^2+2y=-1.

а) Пусть $$x=y^4.$$ Тогда уравнение примет вид

$$x-\frac{31}{2x-1}=15.$$

Умножим на $$2x-1$$:

$$x(2x-1)-31=15(2x-1).$$

$$2x^2-x-31=30x-15.$$

$$2x^2-31x-16=0.$$

Найдём корни:

$$D=31^2+4\cdot 2\cdot 16=1089,$$

$$x_{1,2}=\frac{31\pm 33}{4}.$$

Получаем

$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=16.$$

Так как $$x=y^4\ge 0,$$ значение $$x_1=-\frac12$$ не подходит. Тогда

$$y^4=16,$$

$$y=\pm 2.$$

б) Пусть $$x=y^2-2y.$$ Тогда

$$\frac{12}{x+3}-x=-1.$$

Умножим на $$x+3$$:

$$12-x(x+3)=-(x+3).$$

$$12-x^2-3x=-x-3.$$

$$x^2+2x-15=0.$$

$$D=2^2+4\cdot 15=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=-5,\qquad x_2=3.$$

1) Если $$y^2-2y=-5,$$ то

$$y^2-2y+5=0,$$

$$D=4-20=-16<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$y^2-2y=3,$$ то

$$y^2-2y-3=0,$$

$$D=4+12=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Получаем

$$y_1=-1,\qquad y_2=3.$$

Ответ

а) $$y=-2,\ 2$$; б) $$y=-1,\ 3$$.