Упр.255 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) ((x+2)/x)^2=4 1/4-(x/(x+2))^2;
б) ((p+6)/(2p))^2+(2p/(p+6))^2-2=0.

а) Обозначим

$$y=\left(\frac{x+2}{x}\right)^2.$$

Тогда уравнение примет вид

$$y=4\frac14-\frac1y.$$

Умножим на $$4y$$:

$$4y^2-17y+4=0.$$

Найдём корни:

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225,$$

$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac14,\qquad y_2=4.$$

Возвращаемся к замене.

1) $$\left(\frac{x+2}{x}\right)^2=\frac14,$$

$$\frac{x+2}{x}=\pm \frac12.$$

Если $$\frac{x+2}{x}=\frac12,$$ то

$$2x+4=x,\qquad x=-4.$$

Если $$\frac{x+2}{x}=-\frac12,$$ то

$$2x+4=-x,\qquad 3x=-4,\qquad x=-\frac43.$$

2) $$\left(\frac{x+2}{x}\right)^2=4,$$

$$\frac{x+2}{x}=\pm 2.$$

Если $$\frac{x+2}{x}=2,$$ то

$$x+2=2x,\qquad x=2.$$

Если $$\frac{x+2}{x}=-2,$$ то

$$x+2=-2x,\qquad 3x=-2,\qquad x=-\frac23.$$

Все найденные значения допустимы, так как $$x\neq 0$$ и $$x\neq -2.$$

б) Обозначим

$$y=\left(\frac{p+6}{2p}\right)^2.$$

Тогда

$$y+\frac1y-2=0.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-2y+1=0,$$

$$\left(y-1\right)^2=0,$$

$$y=1.$$

Возвращаемся к замене:

$$\left(\frac{p+6}{2p}\right)^2=1,$$

$$\frac{p+6}{2p}=\pm 1.$$

Если $$\frac{p+6}{2p}=1,$$ то

$$p+6=2p,\qquad p=6.$$

Если $$\frac{p+6}{2p}=-1,$$ то

$$p+6=-2p,\qquad 3p=-6,\qquad p=-2.$$

Оба значения допустимы, так как $$p\neq 0$$ и $$p\neq -6.$$

Ответ

а) $$x=-4,\; -\frac43,\; -\frac23,\; 2.$$

б) $$p=-2,\; 6.$$