Упр.254 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1/(x^2+x+2)+1/(x^2+x)=6/(x^2+x+6);
б) 1/(x^2-2x+2)+2/(x^2-2x+3)=6/(x^2-2x+4).

1. а) Введём новую переменную: $$y=x^2+x.$$ Тогда уравнение примет вид

   $$\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y}=\frac{6}{y+6}.$$

   Умножим обе части на $$y(y+2)(y+6)$$:

   $$ y(y+6)+(y+2)(y+6)=6y(y+2) $$
   $$ y^2+6y+y^2+8y+12=6y^2+12y $$
   $$ 4y^2-2y-12=0 $$
   $$ 2y^2-y-6=0. $$

   Решим квадратное уравнение:

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=1+48=49, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}. $$

   Получаем:

   $$ y_1=-\frac{3}{2}, \qquad y_2=2. $$

   1) $$x^2+x=-\frac{3}{2}$$, то есть

   $$ 2x^2+2x+3=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=2^2-4\cdot 2\cdot 3=4-24=-20<0. $$
   Корней нет.

   2) $$x^2+x=2$$, то есть

   $$ x^2+x-2=0 $$
   $$ (x+2)(x-1)=0. $$

   Отсюда $$x=-2$$ или $$x=1$$.

2. б) Введём новую переменную: $$y=x^2-2x.$$ Тогда

   $$\frac{1}{y+2}+\frac{2}{y+3}=\frac{6}{y+4}.$$

   Умножим обе части на $$ (y+2)(y+3)(y+4) $$:

   $$ (y+3)(y+4)+2(y+2)(y+4)=6(y+2)(y+3) $$
   $$ y^2+7y+12+2y^2+12y+16=6y^2+30y+36 $$
   $$ 3y^2+11y+8=0. $$

   Решим квадратное уравнение:

   $$ D=11^2-4\cdot 3\cdot 8=121-96=25, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-11\pm 5}{6}. $$

   Получаем:

   $$ y_1=-\frac{8}{3}, \qquad y_2=-1. $$

   1) $$x^2-2x=-\frac{8}{3}$$, то есть

   $$ 3x^2-6x+8=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 8=36-96=-60<0. $$
   Корней нет.

   2) $$x^2-2x=-1$$, то есть

   $$ x^2-2x+1=0 $$
   $$ (x-1)^2=0. $$

   Следовательно, $$x=1$$.

Ответ

а) $$x=-2,\ 1$$; б) $$x=1$$.