Упр.254 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите множество решений неравенства:
   а) $$\frac{6}{x-2}-\frac{1}{x}<0$$; в) $$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}<1$$; б) $$\frac{3}{x+6}-\frac{2}{x+1}?0$$; г) $$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x-2}>2$$.
2. Решите уравнение, используя введение новой переменной:
   а) $$\frac{1}{x^2+x+2}+\frac{1}{x^2+x}=\frac{6}{x^2+x+6}$$;
   б) $$\frac{1}{x^2-2x+2}+\frac{2}{x^2-2x+3}=\frac{6}{x^2-2x+4}$$.

1. а) Введём новую переменную: $$y=x^2+x.$$ Тогда уравнение примет вид

   $$\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y}=\frac{6}{y+6}.$$

   Умножим обе части на $$y(y+2)(y+6)$$:

   $$y(y+6)+(y+2)(y+6)=6y(y+2)$$
   $$y^2+6y+y^2+8y+12=6y^2+12y$$
   $$4y^2-2y-12=0$$
   $$2y^2-y-6=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=1+48=49,$$
   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}.$$

   Получаем:

   $$y_1=-\frac{3}{2}, \qquad y_2=2.$$

   1) $$x^2+x=-\frac{3}{2}$$, то есть

   $$2x^2+2x+3=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=2^2-4\cdot 2\cdot 3=4-24=-20<0.$$
   Корней нет.

   2) $$x^2+x=2$$, то есть

   $$x^2+x-2=0$$
   $$(x+2)(x-1)=0.$$

   Отсюда $$x=-2$$ или $$x=1$$.

2. б) Введём новую переменную: $$y=x^2-2x.$$ Тогда

   $$\frac{1}{y+2}+\frac{2}{y+3}=\frac{6}{y+4}.$$

   Умножим обе части на $$(y+2)(y+3)(y+4)$$:

   $$(y+3)(y+4)+2(y+2)(y+4)=6(y+2)(y+3)$$
   $$y^2+7y+12+2y^2+12y+16=6y^2+30y+36$$
   $$3y^2+11y+8=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=11^2-4\cdot 3\cdot 8=121-96=25,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-11\pm 5}{6}.$$

   Получаем:

   $$y_1=-\frac{8}{3}, \qquad y_2=-1.$$

   1) $$x^2-2x=-\frac{8}{3}$$, то есть

   $$3x^2-6x+8=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 8=36-96=-60<0.$$
   Корней нет.

   2) $$x^2-2x=-1$$, то есть

   $$x^2-2x+1=0$$
   $$(x-1)^2=0.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

Ответ

а) $$x=-2,\ 1$$; б) $$x=1$$.