Упр.253 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x/(x+2)-(x+2)/x-(x+1)/(x-2)=0;
б) (x+1)/(x-2)-x/(x+1)+(x+1)/(x+2)=0;
в) x/(x+1)+(x-1)/x+2x/(x+3)=1;
г) (x+1)/x+(x+3)/(x+1)-3x/(x+2)=3.

1. а) Область допустимых значений: $$x \ne -2,\; x \ne 0,\; x \ne 2.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{x}{x+2}-\frac{x+2}{x}-\frac{x+1}{x-2}=0.$$
   Умножим на $$x(x+2)(x-2)$$:
   $$ x^2(x-2)-(x+2)^2(x-2)-x(x+2)(x+1)=0. $$
   После упрощения получаем:
   $$ x^2+6x-8=0. $$
   Тогда
   $$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36+32=68, $$
   $$ x=\frac{-6\pm\sqrt{68}}{2}=-3\pm\sqrt{17}. $$
   С учётом ОДЗ получаем также корень $$x=-1$$.

2. б) Область допустимых значений: $$x \ne -2,\; x \ne -1,\; x \ne 0,\; x \ne 2.$$

   $$\frac{x+1}{x-2}-\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}=0.$$
   Умножим на $$x(x+1)(x+2)(x-2)$$ и упростим:
   $$ 3x^2+7x+3=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=7^2-4\cdot 3\cdot 3=13, $$
   $$ x=\frac{-7\pm\sqrt{13}}{6}. $$
   Также подходит корень $$x=1$$.

3. в) Область допустимых значений: $$x \ne -3,\; x \ne -1,\; x \ne 0.$$

   $$\frac{x}{x+1}+\frac{x-1}{x}+\frac{2x}{x+3}=1.$$
   Приведём к общему знаменателю и упростим:
   $$ x^2=-2. $$
   Действительных решений нет.

4. г) Область допустимых значений: $$x \ne -2,\; x \ne -1,\; x \ne 0.$$

   $$\frac{x+1}{x}+\frac{x+3}{x+1}-\frac{3x}{x+2}=3.$$
   Умножим на $$x(x+1)(x+2)$$ и приведём подобные:
   $$ 4x^3+3x^2-5x-2=0. $$
   Разложим на множители:
   $$ (x-1)(4x^2+7x+2)=0. $$
   Тогда
   $$ x=1 $$
   или
   $$ 4x^2+7x+2=0. $$
   Для квадратного уравнения:
   $$ D=7^2-4\cdot 4\cdot 2=17, $$
   $$ x=\frac{-7\pm\sqrt{17}}{8}. $$

Ответ

а) $$-1,\;-3\pm\sqrt{17}$$; б) $$1,\;\frac{-7\pm\sqrt{13}}{6}$$; в) решений нет; г) $$1,\;\frac{-7\pm\sqrt{17}}{8}$$.