Упр.251 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1/(x+10)-1/(x-1)=1/(x+8)-1/(x-3);
б) 1/(x-4)+1/(x-5)=1/(x-8)+1/(x-1);
в) (x+2)/(x+1)-(x+11)/(x+10)=(2x-5)/(2x-7)-(x-1)/(x-2);
г) (2x+9)/(x+3)-(x+8)/(x+4)=(2x+15)/(x+5)-(x+12)/(x+6).

1. а) Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{x+10}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+8}-\frac{1}{x-3}$$

   $$\frac{x-1-(x+10)}{(x+10)(x-1)}=\frac{x-3-(x+8)}{(x+8)(x-3)}$$

   $$\frac{-11}{(x+10)(x-1)}=\frac{-11}{(x+8)(x-3)}$$

   $$ (x+10)(x-1)=(x+8)(x-3) $$

   $$x^2+9x-10=x^2+5x-24$$

   $$4x=-14,\quad x=-\frac{7}{2}$$

   Проверка ОДЗ: $$x\neq -10,\,1,\,-8,\,3$$. Найденное значение подходит.

2. б) Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-1}$$

   $$\frac{(x-5)+(x-4)}{(x-4)(x-5)}=\frac{(x-1)+(x-8)}{(x-8)(x-1)}$$

   $$\frac{2x-9}{(x-4)(x-5)}=\frac{2x-9}{(x-8)(x-1)}$$

   Если $$2x-9=0$$, то $$x=\frac{9}{2}$$. Это значение не нарушает ОДЗ.

   Если $$2x-9\neq 0$$, то можно сократить на $$2x-9$$ и получить:

   $$ (x-4)(x-5)=(x-8)(x-1) $$

   $$x^2-9x+20=x^2-9x+8$$

   $$20=8$$ — противоречие.

   Значит, единственный корень: $$x=\frac{9}{2}$$.

3. в) Преобразуем левую и правую части:

   $$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x+11}{x+10}=\frac{2x-5}{2x-7}-\frac{x-1}{x-2}$$

   $$\frac{(x+2)(x+10)-(x+11)(x+1)}{(x+1)(x+10)}=\frac{(2x-5)(x-2)-(x-1)(2x-7)}{(2x-7)(x-2)}$$

   $$\frac{x^2+12x+20-x^2-12x-11}{x^2+11x+10}=\frac{2x^2-9x+10-2x^2+9x-7}{2x^2-11x+14}$$

   $$\frac{9}{x^2+11x+10}=\frac{3}{2x^2-11x+14}$$

   $$9(2x^2-11x+14)=3(x^2+11x+10)$$

   $$18x^2-99x+126=3x^2+33x+30$$

   $$15x^2-132x+96=0$$

   $$5x^2-44x+32=0$$

   $$D=44^2-4\cdot 5\cdot 32=1296$$

   $$x=\frac{44\pm 36}{10}$$

   $$x_1=\frac{8}{10}=0{,}8,\quad x_2=\frac{80}{10}=8$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ: $$x\neq -1,\,-10,\,\frac{7}{2},\,2$$.

4. г) Аналогично:

   $$\frac{2x+9}{x+3}-\frac{x+8}{x+4}=\frac{2x+15}{x+5}-\frac{x+12}{x+6}$$

   $$\frac{(2x+9)(x+4)-(x+8)(x+3)}{(x+3)(x+4)}=\frac{(2x+15)(x+6)-(x+12)(x+5)}{(x+5)(x+6)}$$

   $$\frac{x^2+6x+12}{x^2+7x+12}=\frac{x^2+10x+30}{x^2+11x+30}$$

   Перемножим крест-накрест:

   $$ (x^2+6x+12)(x^2+11x+30)=(x^2+10x+30)(x^2+7x+12) $$

   $$4x^2+18x=0$$

   $$2x(2x+9)=0$$

   $$x_1=0,\quad x_2=-\frac{9}{2}$$

   Оба корня подходят при ОДЗ: $$x\neq -3,\,-4,\,-5,\,-6$$.

Ответ

а) $$x=-\frac{7}{2}$$; б) $$x=\frac{9}{2}$$; в) $$x=0{,}8,\ 8$$; г) $$x=-\frac{9}{2},\ 0$$.