Упр.250 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Решите неравенство:
а) $$\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x-4}>0$$;
б) $$\frac{x^3-x^2+6x-6}{x^2-16}<0$$;
в) $$\frac{x^4-10x^2+9}{2x-6}>0$$;
г) $$\frac{x^4-3x^2-4}{x}<0$$;
д) $$\frac{x^3-2x+1}{x+8}\?0$$;
е) $$\frac{x^3-5x^2+8x-4}{x-3}\?0$$.
Докажите, что не имеет корней уравнение:
а) $$\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{1-4x^2}-\frac{3x-1}{6x-3}=0$$;
б) $$\frac{12x}{2x-1}-\frac{23}{x+4}=\frac{1}{2x^2+7x-4}$$;
в) $$\frac{x(x^2-1)}{3(x-2)}+\frac{x+4}{6-3x}=0$$.
а) Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{1-4x^2}-\frac{3x-1}{6x-3}=0$$
Так как $$1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x-1)(2x+1),$$ а $$6x-3=3(2x-1),$$ получаем
$$\frac{1}{2x+1}-\frac{1}{(2x-1)(2x+1)}-\frac{3x-1}{3(2x-1)}=0.$$
Умножим уравнение на $$3(2x-1)(2x+1)$$:
$$3(2x-1)-3-(3x-1)(2x+1)=0.$$
Раскроем скобки:
$$6x-3-3-(6x^2+x-1)=0,$$
$$6x^2-5x+5=0.$$
Дискриминант:
$$D=(-5)^2-4\cdot 6\cdot 5=25-120=-95.$$
Так как $$D<0,$$ действительных корней нет.
б) Преобразуем правую часть:
$$\frac{12x}{2x-1}-\frac{23}{x+4}=\frac{1}{2x^2+7x-4}.$$
Заметим, что
$$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4).$$
Тогда
$$\frac{12x}{2x-1}-\frac{23}{x+4}=\frac{1}{(2x-1)(x+4)}.$$
Умножим на $$(2x-1)(x+4)$$:
$$12x(x+4)-23(2x-1)=1.$$
$$12x^2+48x-46x+23=1,$$
$$12x^2+2x+22=0.$$
Разделим на 2:
$$6x^2+x+11=0.$$
Дискриминант:
$$D=1-4\cdot 6\cdot 11=1-264=-263.$$
Так как $$D<0,$$ действительных корней нет.
в) Преобразуем выражение:
$$\frac{x(x^2-1)}{3(x-2)}+\frac{x+4}{6-3x}=0.$$
Так как $$6-3x=-3(x-2),$$ то
$$\frac{x(x^2-1)}{3(x-2)}-\frac{x+4}{3(x-2)}=0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x^2-1)-(x+4)}{3(x-2)}=0.$$
Числитель равен
$$x^3-x-x-4=x^3-2x-4.$$
Получаем уравнение
$$x^3-2x-4=0.$$
Проверим целые корни: $$x=2$$ подходит:
$$2^3-2\cdot 2-4=8-4-4=0.$$
Тогда
$$x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2).$$
Квадратное уравнение
$$x^2+2x+2=0$$
имеет дискриминант
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0.$$
Значит, действительный корень только один: $$x=2.$$ Но при $$x=2$$ знаменатель исходного выражения обращается в нуль, поэтому это значение не подходит. Следовательно, корней нет.
Ответ
а) корней нет; б) корней нет; в) корней нет.
